名もなき巨大数研究掲示板
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複素数を使った面白い巨大数の解析スレッド
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1：abata
:
2021/09/23 (Thu) 14:25:45
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ふりょうさんがツイッターから名もなき巨大数コンテストの
計算可能ノーマル部門に投稿した複素数を使った面白い巨大数
の解析用スレッドです。
↓エントリーツイート
https://twitter.com/mpy_hppf/status/1440870009475985410
↓定義
iを虚数単位とする。
複素数zと非負整数nに対する関数f(z,n)を以下に定める。
ただし、zの実部をa,虚部をbとして、aとbはどちらも0以上の有限小数でなければならない。
ふりょう
@mpy_hppf
·
2時間
zまたはnが0のとき、f(z,n):=[|z|]+n+1
a≧1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z-1,f(z,n-1))
a<1かつb≧1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z+n-i,f(z,n-1))
0<a<1かつb<1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z+9a+ni,f(z,n-1))
a=0かつb<1かつn>0のとき、f(z,n):=f(10z+10^(-n)+n,f(z,n-1))
ふりょう
@mpy_hppf
·
2時間
正整数xに対して関数g(x)をf((x+10^(-x))(1+i),x)と定めたとき、「複素数を使った面白い巨大数」をg(g(g(300)))とする。
以上です。
名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234
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2：ふりょう
:
2021/09/23 (Thu) 14:58:06
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定義の部分のみを書いておきます！
iを虚数単位とする。
複素数zと非負整数nに対する関数f(z,n)を以下に定める。
ただし、zの実部をa,虚部をbとして、aとbはどちらも0以上の有限小数でなければならない。
zまたはnが0のとき、f(z,n):=[|z|]+n+1
a≧1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z-1,f(z,n-1))
a<1かつb≧1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z+n-i,f(z,n-1))
0<a<1かつb<1かつn>0のとき、f(z,n):=f(z+9a+ni,f(z,n-1))
a=0かつb<1かつn>0のとき、f(z,n):=f(10z+10^(-n)+n,f(z,n-1))
正整数xに対して関数g(x)をf((x+10^(-x))(1+i),x)と定めたとき、「複素数を使った面白い巨大数」をg(g(g(300)))とする。
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3：p進大好きbot
:
2021/09/24 (Fri) 12:03:38
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厳密な解析がちょっと難しいながらも頑張ればできる感じの良問でした。
以下解析を書きますのでどこか間違っていたら遠慮なくご指摘ください。
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実部と虚部が非負有限小数である複素数全体の集合をXと置く。
まずfがX×Nで全域であることを示す。
写像
o:X×N→ω^5, (z,n)→o(z,n)
を10^p Re(z)と10^q Im(z)が自然数である最小の自然数p,qを用いて
o(z,n) = ω^4×q + ω^3×p + ω^2×[Im(z)] + ω×[Re(z)] + n
と定める。
各α∈ω^4に対しT_α={(z,n)∈X×N|o(z,n)≦α}と定めると、f|_{X_α}は
α= 0の場合に[|z|]+n+1と定義され
α≠0の場合に{f|_{X_β}|β<α}
のみを用いて定義されているため、αに関する超限再帰からfはX×Nで全域である。□
以上よりgは正整数全体で全域となる。特に「複素数を使った面白い巨大数」は
（定義式の評価が有限のステップで停止し有限の自然数として定まるという意味で）well-definedである。
次に「複素数を使った面白い巨大数」がF_{ω^4}^6(300)未満であることを示す。
写像
p:X→ω^4, p(z)→p(z)
を10^p Re(z)と10^q Im(z)が自然数である最小の自然数p,qを用いて
p(z) = ω^3×q + ω^2×p + ω×[Im(z)] + [Re(z)]
と定める。
z∈Xに対し写像
N→N, n→f(z,n)
をf_zと置く。
ワイナー階層の基本列と急増加関数を[]とFで表す。
（ガウス記号と衝突しているが混乱はないだろう）
任意の(z,n)∈X×Nに対し
f_z(n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
となることをp(z)に関する超限帰納法で示す。
z=0の時、
p(z)=0であり
f_z(n) = n+1 = F_0([|z|]+n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
z≠0かつn=0の時、
f_z(n) = [|z|]+1 = f_0([|z|]+n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)≧1かつn>0の時、
p(z-1) < p(z-1)+1 = p(z)かつ[|z-1|] < [|z|]より
f_z(n) = f_{z-1}^n(f_z(0)) = f_{z-1}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z-1)}^{2n}(2([|z|]+1))
≦ F_{2+p(z)}(\max(2n,2([|z|]+1))
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)<1かつIm(z)≧1かつn>0の時、
p(z+n-i) = p(z)[n] < p(z)かつ[|z+n-i|] < [|z|]+nより
f_z(n) = f_{z+n-i}^n(f_z(0)) = f_{z+n-i}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z+n-i)}^{2n}(2[|z|]+n+2)
≦ F_{2+p(z+n-i)+1}(\max(2n,2[|z|]+n+2))
≦ F_{2+p(z+n-i)+1}(2([|z|]+n+1))
= F_{2+p(z)[n+1]}(2([|z|]+n+1))
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
0<Re(z)<1かつIm(z)<1かつn>0の時、
p(z+9Re(z)+ni) = p(10Re(z)+(Im(z)+n)i) = p(z)[n] + ω×[Im(z)+n] + [10Re(z)]
< p(z)[n] + ω×([|z|]+n) + 10[|z|]+10 < p(z)
かつ[|z+9Re(z)+ni|] = [|10Re(z)+(Im(z)+n)i|] ≦ 10[|z|]+n+10より
f_z(n) = f_{z+9Re(z)+ni}^n(f_z(0)) = f_{z+9Re(z)+ni}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z+9Re(z)+ni)}^{2n}(11[|z|]+n+11)
≦ F_{2+p(z+9Re(z)+ni)+1}(\max(2n,11[|z|]+n+11))
≦ F_{2+p(z+9Re(z)+ni)+1}(11[|z|]+2n+2)
= F_{2+p(z)[n] + ω×([|z|]+n) + 10[|z|]+11}(11[|z|]+2n+11)
< F_{2+p(z)[n] + ω×([|z|]+n+1)}(11[|z|]+2n+11)
< F_{2+p(z)[n] + ω^2}(11[|z|]+2n+11)
= F_{2+p(z)[n+1]}(11[|z|]+2n+11)
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)=0かつIm(z)<1かつn>0の時、
p(10z+10^{-n}+n) = p(z)[n] + ω×[10Im(z)] + [10^{-n}+n] = p(z)[n] + ω×[10Im(z)] + n
= p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10) + n < p(z)
かつ[|10z+10^{-n}+n|]≦10[|z|]+n+11より
f_z(n) = f_{10z+10^(-n)+n}^n(f_z(0)) = f_{10z+10^(-n)+n}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(10z+10^(-n)+n)}^{2n}(11[|z|]+n+12)
≦ F_{2+p(10z+10^(-n)+n)+1}(\max(2n,11[|z|]+n+12))
≦ F_{2+p(10z+10^(-n)+n)+1}(11[|z|]+2n+12)
≦ F_{2+p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10) + n+1}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10+1)}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n] + ω^2}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n+1]}(11[|z|]+2n+12)
≦ F_{p(z)[n+3]}(11[|z|]+2n+12)
< F_{p(z)}(12([|z|]+n+1))
= F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
以上より任意の(z,n)∈X×Nに対し
f_z(n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
である。
従って任意の正整数xに対し、
g(x) = f_{(x+10^(-x))(1+i)}(x) < F_{2+p((x+10^{-x})(1+i))}(12([|(x+10^(-x))(1+i)|]+x+1))
= F_{2 + ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12([(x+10^(-x))√2]+x+1))
= F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12([(x+10^(-x))√2]+x+1))
≦ F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12(3x+1))
< F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×{x+1}}(12(3x+1))
< F_{ω^3×x + ω^2×(x+1)}(12(3x+1))
< F_{ω^3×(x+1)}(12(3x+1))
< F_{ω^4}(12(3x+1))
< F_{ω^4}(36(x+1))
< F_{ω^4}(F_1^6(x+1))
≦ F_{ω^4}(F_1^7(x))
≦ F_{ω^4}(F_1^7(x))
である。ワイナー階層の特殊事情として
F_x(x) = F_ω(x) < F_{ω^2}(x) < F_{ω^3}(x) < F_{ω^4}(x)
が成り立つことに注意すると、x>7ならば
g(x) < F_{ω^4}(F_1^7(x)) < F_{ω^4}(F_2(x)) < F_{ω^4}(F_x(x))
= F_{ω^4}(F_ω(x)) < F_{ω^4}^2(x)
である。
従って
g^3(300) < F_{ω^4}^6(300)
である。以上より、「複素数を使った面白い巨大数」の厳密な上界としてF_{ω^4}^6(300)を得る。
-
4：ブルームーン
:
2021/09/25 (Sat) 21:07:32
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fが全域であることを示しているところで、唐突にＸ_αやＸ_βが出てきているように見えるのですが、
Ｔ_αとＴ_βの間違いでしょうか。
それとそこの直前の部分に各α∈ω^4に対しとなっていますが各α∈ω^5の間違いでしょうか。
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5：p進大好きbot
:
2021/09/26 (Sun) 00:23:46
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はい、その通りです。ご指摘ありがとうございます。
掲示板だとwikiと違って直接修正できないのが難点ですね・・。とりあえず次のリプライに修正版をまるまる書きます。
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6：p進大好きbot
:
2021/09/26 (Sun) 00:25:58
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指摘していただいた誤植の修正版です。
----
実部と虚部が非負有限小数である複素数全体の集合をXと置く。
まずfがX×Nで全域であることを示す。
写像
o:X×N→ω^5, (z,n)→o(z,n)
を10^p Re(z)と10^q Im(z)が自然数である最小の自然数p,qを用いて
o(z,n) = ω^4×q + ω^3×p + ω^2×[Im(z)] + ω×[Re(z)] + n
と定める。
各α∈ω^5に対しT_α={(z,n)∈X×N|o(z,n)≦α}と定めると、f|_{T_α}は
α= 0の場合に[|z|]+n+1と定義され
α≠0の場合に{f|_{T_β}|β<α}
のみを用いて定義されているため、αに関する超限再帰からfは∪_{α∈ω^5} T_α = X×Nで全域である。□
以上よりgは正整数全体で全域となる。特に「複素数を使った面白い巨大数」は
（定義式の評価が有限のステップで停止し有限の自然数として定まるという意味で）well-definedである。
次に「複素数を使った面白い巨大数」がF_{ω^4}^6(300)未満であることを示す。
写像
p:X→ω^4, p(z)→p(z)
を10^p Re(z)と10^q Im(z)が自然数である最小の自然数p,qを用いて
p(z) = ω^3×q + ω^2×p + ω×[Im(z)] + [Re(z)]
と定める。
z∈Xに対し写像
N→N, n→f(z,n)
をf_zと置く。
ワイナー階層の基本列と急増加関数を[]とFで表す。
（ガウス記号と衝突しているが混乱はないだろう）
任意の(z,n)∈X×Nに対し
f_z(n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
となることをp(z)に関する超限帰納法で示す。
z=0の時、
p(z)=0であり
f_z(n) = n+1 = F_0([|z|]+n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
z≠0かつn=0の時、
f_z(n) = [|z|]+1 = f_0([|z|]+n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)≧1かつn>0の時、
p(z-1) < p(z-1)+1 = p(z)かつ[|z-1|] < [|z|]より
f_z(n) = f_{z-1}^n(f_z(0)) = f_{z-1}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z-1)}^{2n}(2([|z|]+1))
≦ F_{2+p(z)}(\max(2n,2([|z|]+1))
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)<1かつIm(z)≧1かつn>0の時、
p(z+n-i) = p(z)[n] < p(z)かつ[|z+n-i|] < [|z|]+nより
f_z(n) = f_{z+n-i}^n(f_z(0)) = f_{z+n-i}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z+n-i)}^{2n}(2[|z|]+n+2)
≦ F_{2+p(z+n-i)+1}(\max(2n,2[|z|]+n+2))
≦ F_{2+p(z+n-i)+1}(2([|z|]+n+1))
= F_{2+p(z)[n+1]}(2([|z|]+n+1))
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
0<Re(z)<1かつIm(z)<1かつn>0の時、
p(z+9Re(z)+ni) = p(10Re(z)+(Im(z)+n)i) = p(z)[n] + ω×[Im(z)+n] + [10Re(z)]
< p(z)[n] + ω×([|z|]+n) + 10[|z|]+10 < p(z)
かつ[|z+9Re(z)+ni|] = [|10Re(z)+(Im(z)+n)i|] ≦ 10[|z|]+n+10より
f_z(n) = f_{z+9Re(z)+ni}^n(f_z(0)) = f_{z+9Re(z)+ni}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(z+9Re(z)+ni)}^{2n}(11[|z|]+n+11)
≦ F_{2+p(z+9Re(z)+ni)+1}(\max(2n,11[|z|]+n+11))
≦ F_{2+p(z+9Re(z)+ni)+1}(11[|z|]+2n+2)
= F_{2+p(z)[n] + ω×([|z|]+n) + 10[|z|]+11}(11[|z|]+2n+11)
< F_{2+p(z)[n] + ω×([|z|]+n+1)}(11[|z|]+2n+11)
< F_{2+p(z)[n] + ω^2}(11[|z|]+2n+11)
= F_{2+p(z)[n+1]}(11[|z|]+2n+11)
≦ F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
Re(z)=0かつIm(z)<1かつn>0の時、
p(10z+10^{-n}+n) = p(z)[n] + ω×[10Im(z)] + [10^{-n}+n] = p(z)[n] + ω×[10Im(z)] + n
= p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10) + n < p(z)
かつ[|10z+10^{-n}+n|]≦10[|z|]+n+11より
f_z(n) = f_{10z+10^(-n)+n}^n(f_z(0)) = f_{10z+10^(-n)+n}^n([|z|]+1)
< F_{2+p(10z+10^(-n)+n)}^{2n}(11[|z|]+n+12)
≦ F_{2+p(10z+10^(-n)+n)+1}(\max(2n,11[|z|]+n+12))
≦ F_{2+p(10z+10^(-n)+n)+1}(11[|z|]+2n+12)
≦ F_{2+p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10) + n+1}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n] + ω×(10[|z|]+10+1)}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n] + ω^2}(11[|z|]+2n+12)
< F_{2+p(z)[n+1]}(11[|z|]+2n+12)
≦ F_{p(z)[n+3]}(11[|z|]+2n+12)
< F_{p(z)}(12([|z|]+n+1))
= F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
以上より任意の(z,n)∈X×Nに対し
f_z(n) < F_{2+p(z)}(12([|z|]+n+1))
である。
従って任意の正整数xに対し、
g(x) = f_{(x+10^(-x))(1+i)}(x) < F_{2+p((x+10^{-x})(1+i))}(12([|(x+10^(-x))(1+i)|]+x+1))
= F_{2 + ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12([(x+10^(-x))√2]+x+1))
= F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12([(x+10^(-x))√2]+x+1))
≦ F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×x + x}(12(3x+1))
< F_{ω^3×x + ω^2×x + ω×{x+1}}(12(3x+1))
< F_{ω^3×x + ω^2×(x+1)}(12(3x+1))
< F_{ω^3×(x+1)}(12(3x+1))
< F_{ω^4}(12(3x+1))
< F_{ω^4}(36(x+1))
< F_{ω^4}(F_1^6(x+1))
≦ F_{ω^4}(F_1^7(x))
≦ F_{ω^4}(F_1^7(x))
である。ワイナー階層の特殊事情として
F_x(x) = F_ω(x) < F_{ω^2}(x) < F_{ω^3}(x) < F_{ω^4}(x)
が成り立つことに注意すると、x>7ならば
g(x) < F_{ω^4}(F_1^7(x)) < F_{ω^4}(F_2(x)) < F_{ω^4}(F_x(x))
= F_{ω^4}(F_ω(x)) < F_{ω^4}^2(x)
である。
従って
g^3(300) < F_{ω^4}^6(300)
である。以上より、「複素数を使った面白い巨大数」の厳密な上界としてF_{ω^4}^6(300)を得る。