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1：abata
:
2021/09/20 (Mon) 23:54:04
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ブルームーンさんが自作巨大数投稿所から名もなき巨大数コンテストの
無制限部門に投稿したリニアムーン数
の解析用スレッドです。
↓自作巨大数投稿所
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269452
名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234
↓投稿内容
173：ブルームーン : 2021/09/19 (Sun) 22:26:20
Ｎを自然数全体の集合とする
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽
3,a,bがともに偶数ののとき、a％bとa/2％b/2は同値
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと(a-1)/2％(b-1)/2は同値
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真
6,aが1でない奇数かつbが偶数ののとき、a％bは偽
集合Ｐを次のように再帰的に定義する
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐ
a∈Ｐかつが自然数ならば(a,b)∈Ｐ
174：ブルームーン : 2021/09/19 (Sun) 22:39:56
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である
1,aが自然数かつx∈Ｐ
2,a,xが共に自然数かつa％x
3,a,x∈Ｐかつa＜x
4,a＝xかつb％y
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p)を次のように定義する
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*2^b-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*2^(b+1)-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする
176：abata : 2021/09/20 (Mon) 01:32:48
>173
a∈Ｐかつが自然数ならば(a,b)∈Ｐ
は
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐ
の誤植でしょうか？
179：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 05:25:21
>176
はい。その通りです。
180：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 05:53:38
以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
181：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 06:14:05
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
185：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 14:57:44
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
186：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 15:29:30
ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}
任意のＬＴ_nの要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_n[f∈Ｆ_p∧p＜a]}
任意のＬＴ_nの要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_aを次のように定義する。
ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
ただしpはaより小さいＬＴ_nの要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
187：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 15:43:54
>186の訂正です。
任意のＬＴ_nの要素aに対して、というところを任意の(1,1)でないＬＴ_nの要素aに対して、としてください
Ｆ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aにおいても同様にa≠(1,1)です。
aが(1,1)のときのＦ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aについてはあとで定義します
補足です。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることです
188：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 21:54:07
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴを次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→x≦y] を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴを次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→x≦a] を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎを次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎを次のように定義する。
ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)
189：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 21:56:29
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数と名付けて、これを名もなき巨大数コンテストの無制限部門への投稿とする。
新規スレッドの建て方が分からないのですがここに書いても受理されますか？
190：abata : 2021/09/20 (Mon) 23:46:00
>189 大丈夫ですよ！
コピペで解析スレ立てておきますね
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2：ブルームーン
:
2021/09/23 (Thu) 10:27:54
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ＯＴ_(1,1)の定義
自然数nについて集合Ｅ＠_nを次のように定める。
(Ｅ_nの定義のなかの、Ｓ_(Ｇ,Ａ)をＳ_(1,1)に書き換えて、Ｅ_nをＥ＠_nに書き換えればそれがＥ＠_nの定義になります)
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定める。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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3：ブルームーン
:
2021/09/23 (Thu) 10:32:59
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Ｆ_(1,1)の定義
集合Ｆの要素のうち、再帰関数であるもの全体の集合です。
Ｓ_(1,1)の定義
適当にチューリングマシンを辞書的順序に並べて定義するのですが、定義が長くなるのでここだけ後回しです
(修正という形で後ほど定義します。)
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4：ブルームーン
:
2021/09/27 (Mon) 21:56:31
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整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎを次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^2n)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n](-1+x_k)(4n)^(k-1)
ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+anを満たす自然数である。
自然数nおよび(4n)^2n以下の自然数mに対して写像Ｍ_(n,m):Ｔ×Ｎ_n×Ｚ→Ｔ×Ｎ_n×Ｚを次のように定義する。
Ｍ_(n,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
s、n＠、s＠はＬ_n^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。
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5：ブルームーン
:
2021/09/27 (Mon) 22:25:54
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自然数nに対してＦ(1)の要素f_nを次のように定義する。
a、bを、n＝a-(4b)^2b+Σ[k＝1,b](4k)^2kかつa≦(4b)^2bを満たす自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
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6：ブルームーン
:
2021/09/27 (Mon) 22:41:44
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2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎを次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝2^(a-1)*(2b-3)を満たす自然数である。
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7：ブルームーン
:
2021/09/27 (Mon) 22:45:07
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>4～>6がＳ_(1,1)とＦ_(1,1)の定義なので、これで一応リニアムーン数の定義が完成しました。
恐らくタイプミスや定義のミスなどがあると思うので、遠慮なく指摘してください。
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8：abata
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2021/09/28 (Tue) 02:38:52
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＞7 計算不可能系は理解できるかわかりませんが、自分の修正がおわったらせめて挑戦してみます！
タイプミスとかは指摘できるかもしれないので…。
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9：p進大好きbot
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2021/09/28 (Tue) 11:27:19
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訂正が挟まっていたり複数レスに分かれたりしていて可読性が低いので、訂正分も反映した上で１つのレスにまとめてくださる救世主はいませんかね・・？
ところで
> (4b)^2b
などの表記を使っていますが、((4b)^2)bと(4b)^{2b}のどちらを表すものでしょう？
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10：ブルームーン
:
2021/09/28 (Tue) 21:27:58
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>9
(4b)^2bは(4b)^(2b)を表しています。
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11：ブルームーン
:
2021/09/28 (Tue) 21:57:36
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Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
3,a,bがともに偶数ののとき、a％bとa/2％b/2は同値である。
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと(a-1)/2％(b-1)/2は同値である。
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
6,aが1でない奇数かつbが偶数ののとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
1,aが自然数かつx∈Ｐ
2,a,xが共に自然数かつa％x
3,a,x∈Ｐかつa＜x
4,a＝xかつb％y
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p)を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*2^b-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*2^(b+1)-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ (a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^2n) h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n](-1+x_k)(4n)^(k-1)
ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+anを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^2a以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ (t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
s、n＠、s＠はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
a、bを、n＝a-(4b)^2b+Σ[k＝1,b](4k)^2kかつa≦(4b)^2bを満たす自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ (x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)を次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1) n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝2^(a-1)*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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12：ブルームーン
:
2021/09/28 (Tue) 22:09:49
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以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ) n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
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13：ブルームーン
:
2021/09/28 (Tue) 22:32:42
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Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
ただしpはaより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)] を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ n→Λ(n)を次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)] を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。
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14：ブルームーン
:
2021/09/28 (Tue) 22:38:55
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>9
とりあえず修正を入れて三つのレスにまとめました。(一つではないですがこれでも大丈夫ですか？)
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15：p進大好きbot
:
2021/09/29 (Wed) 08:48:11
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ありがとうございます。
複数箇所「偶数ののとき」の誤植がありますね。
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16：p進大好きbot
:
2021/09/29 (Wed) 09:58:46
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> (4b)^2bは(4b)^(2b)を表しています。
全体的に演算の結合順が不明瞭なのでカッコを補わないと曖昧です。
例えば(a-1)*2^b-1は((a-1)*2^b)-1の意味ですか？ その場合は
自然数に0を含める場合
B((0,0)) = ((0-1)*2^0)-1 = -2
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined
自然数に0を含めない場合
B((1,1)) = ((1-1)*2^1)-1 = -1
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined
(a-1)*2^b-1が(a-1)*2^(b-1)の意味である場合は
自然数に0を含める場合
B((0,0)) = (0-1)*2^(0-1) = -1/2
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined
自然数に0を含めない場合
B((1,1)) = (1-1)*2^(1-1) = 0
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined
という感じで結局どの場合もBがill-definedなのですが、構文に曖昧さを残しているために
１つの問題点を指摘するために指摘する側がいちいち全解釈パターンを網羅して指摘する
必要があってそこが律速段階となってしまうので、曖昧さを排除した書き方をしていただけると
より皆に指摘してもらいやすくなってお互いに便利かと思います。
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17：ブルームーン
:
2021/09/29 (Wed) 22:02:35
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自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
3,a,bがともに偶数のとき、a％bとa/2％b/2は同値である。
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
1,aが自然数かつx∈Ｐである。
2,a,xが共に自然数かつa％xである。
3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p) を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ (x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m) を次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
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18：ブルームーン
:
2021/09/29 (Wed) 22:10:58
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写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ (a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n)) h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+a*nを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ (t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
s、n＠、s＠はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たす自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1) n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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19：ブルームーン
:
2021/09/29 (Wed) 22:17:18
-
以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ) n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
-
20：ブルームーン
:
2021/09/29 (Wed) 22:19:52
-
ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
ただしpはaより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)] を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ n→Λ(n)を次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)] を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。
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21：ブルームーン
:
2021/09/29 (Wed) 22:47:42
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>16
なるほど。ありがとうございます。
かっこを補って計算の優先順位を分かりやすくしてみました。
-
22：p進大好きbot
:
2021/09/30 (Thu) 16:05:26
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ありがとうございます。（何かこちらのコメントで(a-1)*2^bと書いてしまいましたが全部(2a-1)*2^bの書き間違いをしたみたいです。すみません）
> ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+a*nを満たす自然数である。
a,bが未定義かつ未量化です。更にx_0,x_1,…を定義しないとx_(b+an)が意味を持たず、一方でx_0,x_1,…の定義には当然x_kが参照されるので、循環論法であるように思います。
というわけで「ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である」か何かの誤植ではないでしょうか？
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23：ブルームーン
:
2021/09/30 (Thu) 21:43:03
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>22
ありがとうございます。
その部分どうやって書いたらいいかわからなかったので助かります。
そのまま使わせていただきます。
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24：ブルームーン
:
2021/09/30 (Thu) 21:47:53
-
自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
1,aが自然数かつx∈Ｐである。
2,a,xが共に自然数かつa％xである。
3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p) を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ (x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m) を次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
-
25：ブルームーン
:
2021/09/30 (Thu) 22:02:11
-
写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ (a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n)) h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ (t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z+s＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たすただ一つのＴの要素であり、
s∈{0,1}、n＠∈Ｎ_a、s＠∈{-1,1}はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たすただ一つの整数である。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1) n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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26：ブルームーン
:
2021/09/30 (Thu) 22:06:22
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以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f∈Ｇ,x∈Ｎ,k∈ＮをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ) n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
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27：ブルームーン
:
2021/09/30 (Thu) 22:22:16
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ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
k、bをn＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_a(n)＝Ｓ_(1,1)(n)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]
を満たすただ一つのＰの要素である。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ n→Λ(n)を次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]
を満たすただ一つのＰの要素である。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
ＬＭ(n)＝Ｘ(Λ(n),n)
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。
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28：p進大好きbot
:
2021/10/02 (Sat) 10:15:00
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> a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。
これaとb逆だったりしませんかね？ M_(a,b)考えるところでどちらかというとM_(b,a)考えたい気持ちがあるのですが。
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29：ブルームーン
:
2021/10/02 (Sat) 21:51:24
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>28
その通りですね。ありがとうございます。
a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。の部分は
a、bを、n＝b-(4a)^(2a)+Σ[k＝1,a]{(4k)^(2k)}かつb≦(4a)^(2a)を満たすただ一つの自然数とする。
が正しいです。
毎回修正するたびに定義を全部書くのは大変なのでまた修正事項が増えてきたら新しく全部書きます。
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30：p進大好きbot
:
2021/10/03 (Sun) 09:59:34
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了解です。
> 自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
⊂が∈の誤植で、F(n)がF(1)の誤植ではないでしょうか？
> Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する
kが未定義です。
> 自然数x_1の集合において順序％が整列順序となるならば、
自然数x_1全体の集合への順序％の制限が整列順序となるならば、という意味でしょうか？
勘違いしてたら申し訳ありませんが、％は(Z＼N)^2に辞書式順序を入れたものに最小元を添加したものと順序同型なので、％の制限が整列順序となるようなNの部分集合は有限集合に限られるのではないでしょうか？
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31：ブルームーン
:
2021/10/03 (Sun) 21:56:28
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> ⊂が∈の誤植で、F(n)がF(1)の誤植ではないでしょうか？
その通りです。 ありがとうございます。
> kが未定義です。
たしかにそうですね。Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する、の部分を
kをＳ_(1,1)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する
にしておいてください。
>自然数x_1の集合において順序％が整列順序となるならば、
自然数x_1全体の集合への順序％の制限が整列順序となるならば、という意味でしょうか？
aをＮの部分集合としたときに、aにおいて順序％が整列順序となるとは
∀b⊂a[b≠{}→∃c∈b[∀d∈b[c≠d→c％d]]]であることを意図していますが「制限」という言葉はあったほうが良いのでしょうか。
>勘違いしてたら申し訳ありませんが、％は(Z＼N)^2に辞書式順序を入れたものに最小元を添加したものと順序同型なので、％の制限が整列順序となるようなNの部分集合は有限集合に限られるのではないでしょうか？
たとえば集合aをa＝{2^n:n∈Ｎ}とするとこれは無限集合ですが整列順序になっているはずです。
なってなかったらたぶんわたしがどこかで定義を間違えています。
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32：p進大好きbot
:
2021/10/05 (Tue) 12:25:43
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> aをＮの部分集合としたときに、aにおいて順序％が整列順序となるとは
> ∀b⊂a[b≠{}→∃c∈b[∀d∈b[c≠d→c％d]]]であることを意図していますが「制限」という言葉はあったほうが良いのでしょうか。
いえ、なくてもいいですが「自然数x_1の集合」が未定義かつ未量化だったので、「自然数x_1全体の集合」の意味かを確認したかった感じです。
> たとえば集合aをa＝{2^n:n∈Ｎ}とするとこれは無限集合ですが整列順序になっているはずです。
それに対してb = a ＼{1}と置くと、cが存在しなくないですか？ 上のコメントは「N^2の辞書式順序」ではなく「(Z＼N)^2の辞書式順序」であることにご注意ください。つまりNの順序の逆順序の直積になっています。
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33：ブルームーン
:
2021/10/05 (Tue) 22:13:48
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> それに対してb = a ＼{1}と置くと、cが存在しなくないですか？ (a＝{2^n:n∈Ｎ})
c＝2とすれば∀d∈b[c≠d→c％d]が成立すると思います。
証明
任意の2でないbの要素はある2以上の自然数nを用いて2^nと表される。
％の定義の4より2％(2^n)を示すには1％(2^(n-1))を示せばよいが、
2^(n-1)≠1であるため％の定義の1よりこれは真である。
よって任意の2でないbの要素dに対して2％dであることが示された。 Ｑ．Ｅ．Ｄ．
ところでp進大好きbotさんは0を自然数に含める方ですか？
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34：p進大好きbot
:
2021/10/05 (Tue) 23:34:04
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本当ですね。すみませんルールを誤解していました。2冪の時は逆順じゃないNの順序で、2冪でなくなる時に逆順になるんですね・・。
僕自身は0を自然数に含める方ですね。数論や集合論ではその流儀がメジャーだと思います。
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35：p進大好きbot
:
2021/10/06 (Wed) 00:29:39
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> ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1
ここもkが未定義かつ未量化ですので同様の修正が必要かと思います。
> 条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
ここもkが未定義かつ未量化ですので同様の修正が必要かと思います。
> G_t
未定義です。
> f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。
> Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
> 順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
これらもやはり「自然数x_1の集合」２箇所が「自然数x_1全体の集合」だと思います。
> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝…
> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a…
FF_aとSS_aがaのみから定まらない（暗黙の変数であるnにも依存する）ため、結果的に F_aもa飲みから決まらなくなっているように見えます。FF_{a,n}やSS_{a,n}やF_{a,n}などのように依存関係が明確な記法にしていただけますでしょうか？ でないとFF_aの定義のF_pが依存する暗黙の変数が不定である（nなのかpに依存して決めるnより小さいかもしれない値なのか定まらない）ので、FF_aの定義が不明瞭となると思います。
> ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]
> を満たすただ一つのＰの要素である。
このようなyって本当にただ１つ存在するのでしょうか？ 何かyはOTに入らなくて良いので一意でない気がします。
> ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]
> を満たすただ一つのＰの要素である。
こちらも同様に一意でない気がします。
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36：ブルームーン
:
2021/10/06 (Wed) 22:06:11
-
自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
1,aが自然数かつx∈Ｐである。
2,a,xが共に自然数かつa％xである。
3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p) を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ (x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m) を次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
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37：ブルームーン
:
2021/10/06 (Wed) 22:15:05
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写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ (a,k,b)→Ｊ_n(a,k,b)を次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n)) h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ (t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z+s＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たすただ一つのＴの要素であり、
s∈{0,1}、n＠∈Ｎ_a、s＠∈{-1,1}はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たすただ一つの整数である。
自然数nに対してf_n∈Ｆ(1)を次のように定義する。
a、bを、n＝b-(4a)^(2a)+Σ[k＝1,a]{(4k)^(2k)}かつb≦(4a)^(2a)を満たすただ一つの自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1) n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
kをＳ_(1,1)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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38：ブルームーン
:
2021/10/06 (Wed) 22:26:40
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以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
kをＡ_(t)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたとき、(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＤ_tの要素(f,n)とf∈Ｆ(k)を満たす自然数kが存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f∈Ｇ,x∈Ｎ,k∈ＮをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することと、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ) n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
kをＳ_(Ｇ,Ａ)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1全体の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
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39：ブルームーン
:
2021/10/06 (Wed) 22:28:03
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ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
k、bをn＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_a(n)＝Ｓ_(1,1)(n)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]
を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ n→Λ(n)を次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]
を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
ＬＭ(n)＝Ｘ(Λ(n),n)
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。
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40：ブルームーン
:
2021/10/06 (Wed) 22:37:47
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ある程度修正しました。
> > f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。
この部分の修正は反映されておりません。(ちょっと時間がかかるかもしれません。)
> FF_aとSS_aがaのみから定まらない（暗黙の変数であるnにも依存する）ため、結果的に F_aもa飲みから決まらなくなっているように見えます。FF_{a,n}やSS_{a,n}やF_{a,n}などのように依存関係が明確な記法にしていただけますでしょうか？ でないとFF_aの定義のF_pが依存する暗黙の変数が不定である（nなのかpに依存して決めるnより小さいかもしれない値なのか定まらない）ので、FF_aの定義が不明瞭となると思います。
a∈ＬＴ_(n-1)をみたすnなら何を用いてもＦＦ_aとＳＳ_aは変わらないように定義しているはずなのですがどうでしょうか？
正直このＬＴ_nの定義のところは僕自身よくわかっていないので僕が間違っている可能性も十分あります。
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41：p進大好きbot
:
2021/10/07 (Thu) 10:06:37
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> a∈ＬＴ_(n-1)をみたすnなら何を用いてもＦＦ_aとＳＳ_aは変わらない
それでしたらFF_{a,n}のように定義した上でa∈ＬＴ_(n-1)を満たす最小のn>1をn_aなどと置いてFF_a = FF_{a,n_a}とかにすると良いです。
というのも、今はFF,F,SS,Sが相互再帰されていますが相互再帰が意味を持つにはまず定義文が定まってそれに関して再帰が停止しないといけないのですが、「nに依存しない」という主張は相互再帰で定義されて初めて意味を持つので、定義される前段階（相互再帰の途中）では意味を持たないからです。
例えばもしF_aの定義をF_{a,n_a^{100}}としてみてください。これだと相互再帰が回らずFF,F,SS,Sの相互再帰が循環しFがill-definedになります。その意味で「nに依存しない」という主張が意味を持たないのはよろしいでしょうか。
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42：p進大好きbot
:
2021/10/07 (Thu) 10:38:25
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>> a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。
> この部分の修正は反映されておりません。(ちょっと時間がかかるかもしれません。
ちなみにこれって「このとき、」と「次の1～4」の間に「任意の自然数a_1,…,a_sに対して、」を挟むだけみたいな意図ではない感じですか？
> kをＡ_(t)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたとき
A(t)の誤植かと思います。
ようやく定義の正確な形が見えてきましたが、結構でかいですねこれ・・。
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43：ブルームーン
:
2021/10/07 (Thu) 22:36:58
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> ちなみにこれって「このとき、」と「次の1～4」の間に「任意の自然数a_1,…,a_sに対して、」を挟むだけみたいな意図ではない感じですか？
そうですね。ありがとうございます。
このときf_(n,t)∈Ｆ(s)であり、そして任意の自然数a_1,…,a_sに対して
「次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することとf_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である」が成り立つ。
これで大丈夫でしょうか。
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44：ブルームーン
:
2021/10/07 (Thu) 23:10:23
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> A(t)の誤植かと思います。
その通りです。ありがとうございます。
>41
あ。このままだと循環論法みたいになってしまいますね。
あとで修正します。
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45：p進大好きbot
:
2021/10/07 (Thu) 23:22:43
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> このときf_(n,t)∈Ｆ(s)であり、そして任意の自然数a_1,…,a_sに対して
> 「次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することとf_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である」が成り立つ。
あ、そうですね。それがいいかと思います。
いまいちR_tの寄与（つまりf,x,tからf_{C^{-1}(f,x),t}を作る操作がどれほど計算不可能性を増すか）がよく分からなくて、上界として少なくとも計算モデルにω+1階オラクルを付加すればよいだろうと思うのですが下界がさっぱりです。これって何か既知の操作をコードしたものだったりしますか？
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46：ブルームーン
:
2021/10/08 (Fri) 22:09:53
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ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_[a,n]}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_[a,n]:Ｎ→ＦＦ_[a,n] t→ＳＳ_[a,n](t)を次のように定義する。
k、bをt＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[p,n](b)である。
ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[(1,1),n](t)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_[a,n]＝Ｆ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、Ｓ_[a,n]＝Ｓ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、ＯＴ_[a,n]＝ＯＴ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])である。
Ｆ_[(1,1),n]＝Ｆ_(1,1)、Ｓ_[(1,1),n]＝Ｓ_(1,1)、ＯＴ_[(1,1),n]＝ＯＴ_(1,1)である。
これでしっかりＬＴ_nが定義されているでしょうか？
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47：ブルームーン
:
2021/10/08 (Fri) 22:25:09
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>45
少なくとも私が知っている操作をコード化したものではないですね。
計算モデルにω+1階オラクルを付加したものとはどういうものでしょうか。
ところでチャーチクリーネ順序数の自然な基本列ってどんな性質を満たしているようなものなのでしょうか。
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48：p進大好きbot
:
2021/10/09 (Sat) 08:55:34
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> これでしっかりＬＴ_nが定義されているでしょうか？
これだとFFとFが相互再帰でなく循環参照になってしまって定義が破綻しているように見えます。
> 計算モデルにω+1階オラクルを付加したものとはどういうものでしょうか。
計算モデルにオラクルを加える操作を任意有限回行ってできる計算モデルにオラクルを加えたものですね。（コード化に依存しますが今回はコード化が固定されているので意味を持ちますよね）
> ところでチャーチクリーネ順序数の自然な基本列ってどんな性質を満たしているようなものなのでしょうか。
そもそもあまり自然と言える基本列はないと思います。僕の知っている限りどれも人工的で、さほどいい性質を満たす話は聞いたことがありません。
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49：p進大好きbot
:
2021/10/09 (Sat) 16:03:58
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もうちょっと頑張って上限を詰めていったら、ω+1階ではなく2階でも計算できている気がしてきました。まあ全体の強さの評価には影響しない精密化ですが。
LT_2までがω_1^CK階未満のオラクルチューリングマシンで計算できる（従ってω_1^CKまでの基本列を与えるクリーネのOを計算できるレベルの計算モデルは不要である）ことは正しいと思うのですが、LT_3からがそれらで計算できるのかがまだ分かりません。強さの予想などありますかね？
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50：ブルームーン
:
2021/10/09 (Sat) 22:36:39
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>これだとFFとFが相互再帰でなく循環参照になってしまって定義が破綻しているように見えます。
循環参照ではなく超限再帰的なものになっているはずですが…
もし循環してるならどこらへんが循環しているでしょうか。
>そもそもあまり自然と言える基本列はないと思います。僕の知っている限りどれも人工的で、さほどいい性質を満たす話は聞いたことがありません。
質問がだいぶずれてました。ごめんなさい。
改めて質問させていただくと、計算可能関数を支配するeventual dominationでcofinalな線形階層みたいなの
の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？(分かりにくい表現ですみません。)
少し(というかそれなりに)質問がずれてました。すみません。
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51：ブルームーン
:
2021/10/09 (Sat) 22:47:17
-
>49
僕の推測が正しければ、最小の証明を書けなくても戦え数より大きいかもしれません。
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52：p進大好きbot
:
2021/10/10 (Sun) 08:45:12
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> 循環参照ではなく超限再帰的なものになっているはずですが…
FF_{a,n}の定義がF_{a,n}を参照し、F_{a,n}の定義がFF_{a,n}を参照しているので相互再帰が定める自然な順序的なものが半順序でなくなっています。超限再帰には整礎な半順序が必要ですので、これは超限再帰ではなく単に循環論法となります。
> 計算可能関数を支配するeventual dominationでcofinalな線形階層みたいなの
計算可能関数の集合Xであって
１．eventual dominationの定める関係がX上の全順序となりかつ
２．任意の計算可能関数fに対してあるg∈Xが存在してgがfをeventual dominationする
という意味です。
> の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？
そのようなXの存在が証明可能か反証可能か独立かが不明であるという意味です。
例えば計算可能性をなくした類題はZFCが無矛盾ならば反証不可能であることは次のように容易に示せます。
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%85%A8%E4%BD%93%E3%82%92dominate%E3%81%99%E3%82%8B%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E9%9A%8E%E5%B1%A4%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%9F%9B%E7%9B%BE%E6%80%A7
> 僕の推測が正しければ、最小の証明を書けなくても戦え数より大きいかもしれません。
なるほど、その辺に食い込んできそうなんですね。推測の背景にある理論的な理由付けとかありますか？
> の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？(分かりにくい表現ですみません。)
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53：ブルームーン
:
2021/10/10 (Sun) 22:12:19
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>FF_{a,n}の定義がF_{a,n}を参照し、F_{a,n}の定義がFF_{a,n}を参照している
ＦＦ_[a,n]の定義にはＦ_[a,n]は出てこないはずです。
>なるほど、その辺に食い込んできそうなんですね。推測の背景にある理論的な理由付けとかありますか？
雰囲気だけで言うと、Ｄ_tがある意味で公理と推論規則みたいな働きをして、
それでＲ_tがその公理で証明可能なものの集合になるというイメージです。
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54：ブルームーン
:
2021/10/10 (Sun) 22:56:51
-
注意:これはリニアムーン数の定義の修正ではありません。
>そのようなXの存在が証明可能か反証可能か独立かが不明であるという意味です。
下のようにＸを定義すればなんか行ける気がしたのですがなんかの錯覚でしょうか？
(f_nは>37で定義されているもので、％は>36で定義されているものです。その他の記号はリニアムーン数とは関係ありません。)
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
f_n(x)＝１を満たすような自然数x全体の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x全体の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ＠はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
ＯＴをＯＴ＠と{1}の和集合として定義する。
写像Ｙ:ＯＴ＼{1}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y％p∧y≦n∧∀x∈ＯＴ[(x％p∧x≦n)→(x％y∨x＝y)]
を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Ｗ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｗ(p,n)を次のように定義する。
Ｗ(p,n)＝3^n (p＝1のとき)
Ｗ(p,n)＝Ｗ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠1のとき)
写像Ｎ→Ｎ全体の集合の部分集合Ｘを次のように定義する。
Ｘ＝{Ｗ(p,x):p∈ＯＴ}
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55：p進大好きbot
:
2021/10/11 (Mon) 13:47:32
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> １．eventual dominationの定める関係がX上の全順序となりかつ
すみません、ここ書き間違えました。全順序ではなく整列順序です。（全順序なだけなら対角化するだけで済みますね）
> ＦＦ_[a,n]の定義にはＦ_[a,n]は出てこないはずです。
定義中に
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。
と書かれています。
> 雰囲気だけで言うと、Ｄ_tがある意味で公理と推論規則みたいな働きをして、
> それでＲ_tがその公理で証明可能なものの集合になるというイメージです。
なるほど。言いたいことが何となく分かった気がします。戦え数は有限個の再帰的関係に対するオラクルチューリングマシンを用いて計算できるので、それらに対応するtをうまく取れば何とかなりそう、という感じですね。
> 下のようにＸを定義すればなんか行ける気がしたのですがなんかの錯覚でしょうか？
これeventual dominationについて全順序になっていることをどうやって示しますか？ f_nのenumerationを変えると全順序にすらならない、というのが実質木原先生が解説していることですのでf_nの定義を明に使わなければ示せないと思いますが、このf_nなら全順序になることの根拠がよく分かりませんでした。
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56：ブルームーン
:
2021/10/11 (Mon) 21:46:22
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>すみません、ここ書き間違えました。全順序ではなく整列順序です。（全順序なだけなら対角化するだけで済みますね）
なるほど。そうでしたか。
この問題をネットで検索してみてもp進大好きbotさんの記事か木原先生のブログしか出てこないのですが
どこかにこれが未解決問題だという出典とかってありませんかね？
あともしこれが解けた時に、ここに証明を書きこんだらそれってどうなるのでしょうか。
(それを誰かが読んでそれが認められるとかいうことはあるのでしょうか。)
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57：ブルームーン
:
2021/10/11 (Mon) 21:50:18
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> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f：∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。
と書かれています。
そこに書かれているようにＦＦ[a,n]を定義するのに必要なのはp＜aを満たすpに対するＦ_[p,n]です。
Ｆ_[a,n]は使用されていません。
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58：p進大好きbot
:
2021/10/11 (Mon) 23:12:09
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> この問題をネットで検索してみてもp進大好きbotさんの記事か木原先生のブログしか出てこないのですが
> どこかにこれが未解決問題だという出典とかってありませんかね？
A. Kanamori, The Emergence ofDescriptive Set Theory, p.256
（http://math.bu.edu/people/aki/2.pdf）
参照ですね。
> Ｆ_[p,n]です。
完全に目が死んでいました・・申し訳ありません。
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59：p進大好きbot
:
2021/10/11 (Mon) 23:14:33
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> あともしこれが解けた時に、ここに証明を書きこんだらそれってどうなるのでしょうか。
> (それを誰かが読んでそれが認められるとかいうことはあるのでしょうか。)
証明が認められれば、ブルームーンさんの功績になりますね。
でも査読付き論文誌に投稿したほうが功績としての信憑性が増すのでおすすめです。
（例えば査読を気にしないとなると、リーマン予想やP/NP問題は大量に「証明」と「反証」がネットに転がっています）
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60：ブルームーン
:
2021/10/12 (Tue) 21:26:52
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>59
査読付き論文誌ですか…
論文を書くとなると気になることがいくつかあるので質問させていただきます。(まだ論文にするかは決めてませんが)
まず、私自身がここで書き込んだレスの内容を用いる場合もそれは参考文献として載せたほうが良いでしょうか？
あと、それらに一部p進大好きbotさんとの相談による修正が入っていた場合、それも明記した方が良いのでしょうか？
次にもしここに証明を載せてもしそれが有名になった場合、その内容を投稿したと偽る人が現れた時に、
その人が嘘をついていて私が書いたのだということを立証することは出来るのでしょうか？
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61：ブルームーン
:
2021/10/12 (Tue) 21:28:21
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>58
ありがとうございます。
>完全に目が死んでいました・・申し訳ありません。
大丈夫です。
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62：p進大好きbot
:
2021/10/13 (Wed) 11:41:09
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> (まだ論文にするかは決めてませんが)
少なくとも今回の件は上に書いたように議論が飛躍している（eventual dominationが全順序であることが示されていないしそこがかなり疑わしい）のですが、そこを直したら、ということですよね。
> 私自身がここで書き込んだレスの内容を用いる場合もそれは参考文献として載せたほうが良いでしょうか？
論文は基本的に英語で書くので、日本語で書かれたここの内容を引用する場合はきちんと英訳したものを論文に載せる必要があります。その上で「日本語の原文は[1]である」のように書いて参考文献リストに「[1] ここのurl」など書く感じですね。
> それらに一部p進大好きbotさんとの相談による修正が入っていた場合、それも明記した方が良いのでしょうか？
些末な誤植の指摘は必ずしも書きませんが、謝辞に書く人も多いですね（著者リストに書いてはいけません）。それらの修正が論文全体においてどれくらい重要かとかにもよりますし、人それぞれです。
> もしここに証明を載せてもしそれが有名になった場合、その内容を投稿したと偽る人が現れた時に、
> その人が嘘をついていて私が書いたのだということを立証することは出来るのでしょうか？
基本的に個人情報なりパスワードで保護されたアカウントなりを含まない形での投稿はいくらでもなりすましが可能です。なりすましを立証することは（物理的に可能であったとしても）現実的に不可能ですし、ブルームーンさん本人ですら自分の書き込みであることの立証は困難です。
だからこそ、個人情報を紐付けて論文誌に投稿するか、パスワードで保護されたアカウントで何らかのサービスを経由するか、が必要となります。
基本的には掲示板はそういう点で不向きです。
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63：ブルームーン
:
2021/10/13 (Wed) 21:42:05
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私が既にここに書き込んでいるものを引用する際、それは自己引用という形になるのでしょうか？
できればそれらの書き込みも自分のものだといえるのが一番いいのですが、やはり難しいのでしょうか？
あと、これらの書き込み、特に>54が私の書いたものであるかどうか疑わしいとなった場合、
私の功績は大幅に小さくなってしまうのでしょうか？
それと日本語でも論文投稿できるところってあるでしょうか？
なんか質問が多くて申し訳ありません。
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64：ブルームーン
:
2021/10/13 (Wed) 22:10:10
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これが間違っていたら元も子もないので一応確認しておきます。
Ｘを写像Ｎ→Ｎ全体の集合としたとき、Ｘ上の二項関係＜がeventual dominationであるとは次の定義で合ってるでしょうか？
Ｘの要素fとgがf＜gであるとは∃a∈Ｎ[∀k∈Ｎ[a＜k→f(k)＜g(k)]]が成り立つことである。
それと、示すべきことは以下の内容で合ってるでしょうか？
Ｘの要素のうち、計算可能であるもの全体の集合をＦする。
このとき、下の一～四をすべて満たすようなＦの部分集合Ａが存在する。
一、＜はＡ上の狭義全順序である。
二、Ａにおいて＜は整列順序である。
三、任意のＦの要素fに対し、あるＡの要素gが存在してf＜gを満たす。
四、(Ａ,＜)の順序型はチャーチクリーネ順序数である。
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65：p進大好きbot
:
2021/10/13 (Wed) 23:30:33
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> 私が既にここに書き込んでいるものを引用する際、それは自己引用という形になるのでしょうか？
質問の意図がよく分かっていないのですが、自己引用以外の形としては何が想定されているのでしょうか？ 自分が書いたものを引用する時点で自己引用にほかならないと思います。
> できればそれらの書き込みも自分のものだといえるのが一番いいのですが、やはり難しいのでしょうか？
自分のものだと主張することは可能です。証明することが出来ないだけです。
> あと、これらの書き込み、特に>54が私の書いたものであるかどうか疑わしいとなった場合、
> 私の功績は大幅に小さくなってしまうのでしょうか？
いえ、54は何も未解決問題を証明していないので、もし未解決問題を証明する論文を書いた場合は54の書き手が誰であっても結果を損なうことはないと思います。
そもそも再帰的整列順序を数え上げて和順序を取り急増加関数階層などを適用する、というアイデアだけ（それがeventual dominationについて整列していることなどは証明していない）なら恐らくこれまで色々な人が考案していると思いますからね。（例えば巨大数屋敷数も、再帰的整列順序の代わりに可証整礎な再帰的全順序を数え上げて和順序を取りFGHを適用していてほとんど同様です）
そういう構成だと後続ステップではeventual dominationが元の順序と両立しても極限ステップで生じる対角化がeventual dominationか計算可能性を崩しやすいため証明がしにくい、という問題がありそういうのを克服した証明が重要になるわけですよね。
> それと日本語でも論文投稿できるところってあるでしょうか？
あるにはあると思いますが、調べたことはないので具体的な名前は知りません。
> 次の定義で合ってるでしょうか？
はい、あっています。
> 示すべきことは以下の内容で合ってるでしょうか？
ゲーデルの原典を呼んだことがないので、他にどんな条件が課されているかなどは分かりません。また四が課されているかどうかも分かりません。
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66：p進大好きbot
:
2021/10/14 (Thu) 00:28:31
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でも確かにω_1^CKであることまで課さないと意味がないかもしれませんね。単に対角化して総和を取った階層も一～三満たしますけど順序型ωですからね・・。
もしくは何らかの計算可能性をAに課すのだと思います。とにかく原典を読まないと設定は不明ですね。
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67：ブルームーン
:
2021/10/14 (Thu) 15:09:16
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ネットでゲーデルを含む言葉を検索するとゲーデルの不完全性定理しか出てこなくて
この問題に関する情報が出てこないのですが原典はどうしたら見られるのでしょうか？
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68：p進大好きbot
:
2021/10/14 (Thu) 20:45:08
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木原先生に尋ねてみたところ、恐らくゲーデルのprivate communicationが原典（つまり明文化されてはいなさそう）みたいですね。となると読めないので、これを扱っている人たち（例えばKanamori先生）の解釈を聞く、とかでしょうかね。
Kanamori先生の記事に書いてあるものは（全域計算可能全体と再帰的集合全体で若干定式化は違いますがだいたい同じ問題意識だとして）計算可能関数の直感的な複雑さを反映させるような階層であることが望まれているように読めますね。
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69：ブルームーン
:
2021/10/14 (Thu) 22:27:04
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>68
明文化されてなかったのですね…
少し調べてみます。ありがとうございました。
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70：ブルームーン
:
2021/10/14 (Thu) 22:27:47
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リニアムーン数の修正を入れた最新版を載せておきます。
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71：ブルームーン
:
2021/10/14 (Thu) 22:28:42
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自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
1,aが自然数かつx∈Ｐである。
2,a,xが共に自然数かつa％xである。
3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ p→Ｂ(p) を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ (x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m) を次のように定義する。
m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
-
72：ブルームーン
:
2021/10/14 (Thu) 22:31:00
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写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ (a,k,b)→Ｊ_n(a,k,b)を次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n)) h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ (t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z+s＠)である。
ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たすただ一つのＴの要素であり、
s∈{0,1}、n＠∈Ｎ_a、s＠∈{-1,1}はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たすただ一つの整数である。
自然数nに対してf_n∈Ｆ(1)を次のように定義する。
a、bを、n＝b-(4a)^(2a)+Σ[k＝1,a]{(4k)^(2k)}かつb≦(4a)^(2a)を満たすただ一つの自然数とする。
Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1) n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
kをＳ_(1,1)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1全体の集合である。
そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
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73：ブルームーン
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2021/10/14 (Thu) 22:33:55
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以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
kをＡ(t)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたとき、(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
を満たすＤ_tの要素(f,n)とf∈Ｆ(k)を満たす自然数kが存在することは同値である。
1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
f∈Ｇ,x∈Ｎ,k∈ＮをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
このときf_(n,t)∈Ｆ(s)であり、そして任意の自然数a_1,…,a_sに対して
「次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することとf_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である」が成り立つ。
1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ) n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
kをＳ_(Ｇ,Ａ)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1全体の集合である。
そうでないならばＥ_nは空集合である。
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。
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74：ブルームーン
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2021/10/14 (Thu) 22:36:15
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ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_[a,n]}∪ＬＴ_(n-1)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_[a,n]:Ｎ→ＦＦ_[a,n] t→ＳＳ_[a,n](t)を次のように定義する。
k、bをt＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[p,n](b)である。
ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[(1,1),n](t)である。
任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_[a,n]＝Ｆ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、Ｓ_[a,n]＝Ｓ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、ＯＴ_[a,n]＝ＯＴ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])である。
Ｆ_[(1,1),n]＝Ｆ_(1,1)、Ｓ_[(1,1),n]＝Ｓ_(1,1)、ＯＴ_[(1,1),n]＝ＯＴ_(1,1)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ (p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
Ｙ(p,n)＝yである。
ただしyは、 y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]
を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ n→Λ(n)を次のように定義する。
Λ(n)＝aである。
ただしaは、 Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]
を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ (p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
Ｘ(p,n)＝3^n (p＝(1,1)のとき)
Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n) (p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
ＬＭ(n)＝Ｘ(Λ(n),n)
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。
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75：ブルームーン
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2021/10/14 (Thu) 22:37:49
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ついでに(ＯＴ,＜)に対応する順序数をリニアムーン順序数と名付けます。
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76：ブルームーン
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2021/10/19 (Tue) 21:30:29
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どうやら欠陥がありそうなので多分修正が入ります。
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77：ブルームーン
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2021/10/31 (Sun) 23:40:34
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>76
よくわからなくなったのでとりあえず修正はなしにします。