■こちらでは、この掲示板に対する要望や意見を募集したいと思います。

また、Twitterの方で直接DMいただいてもOKです。

管理人：アバタ
https://twitter.com/AroW4on3KnUExhG

自作巨大数投稿所がほしいです
自分で巨大数を作ったり、他人と協力して巨大数を作ったりするところです

ご意見ありがとうございます！
後程作成してみます！

自作巨大数投稿所つくっておきました！
http://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269452

荒らしなのか？
謎のスレが2つある。
abataさんが自分で作ってるなら良いが。

無題スレが2つありますね。
おばさんらしき奴とおっさん感やばい奴。
とりあえず無題スレにはカキコしないようにしましょう。





ｷﾓｯ

>二宮大翔
対応かなり遅れて申し訳ないです！
ただいま削除しておきました！

>>7
ありがとうございます。

LaTeX的なものを使いたいです。
使えたら色々と巨大数の定義や解析が見やすいと思います。

■こちらでは、計算不可能数全般についての情報や話題を募集したいと思います。

参考：
ビジービーバー関数
http://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269350
ラヨ数
http://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269353
ビッグフット
http://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269354
サスカッチ
http://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269357
など

自作巨大数のほうにいた人と同一人物です。
あちらに書いていたことをミスっていたので、自作のほうの266と267消して欲しい。
あと、話題で自作巨大数の267の、
集合論から計算不可能関数の作り方を単純明快ではなく正しく教えてほしい

なんか、ただの根性論？的なこと言ってすんません
確か計算不可能数ってのは理論上的な話でも計算できない関数だったっけな？（そのまま）

>2 対応遅れて申し訳ないです！
266と267消しておきました！

■こちらでは、自作巨大数の投稿や自作巨大数についての話題を募集したいと思います。

やちゃった

誤：なので＞177のケースを想定する必要はありません

正：なので＞178のケースを想定する必要はありません

左辺が2変数と3変数のパターンを列挙しておきます
A^[n](〜)のnが2だと仮定した場合

A(0,0)=A[n]^(A(0))=A(A(A(0)))
A(0,1)=A[n]^(A(0,0))=A(A(A(0,0)))
A(0,2)=A[n]^(A(0,1))=A(A(A(0,1)))
A(0,3)=A[n]^(A(0,2))=A(A(A(0,2)))

A(1,0)=A[n]^(0,A(0,0))=A(0,A(0,A(0,0)))
A(1,1)=A[n]^(0,A(1,0))=A(0,A(0,A(1,0)))
A(1,2)=A[n]^(0,A(1,1))=A(0,A(0,A(1,1)))
A(1,3)=A[n]^(0,A(1,2))=A(0,A(0,A(1,2)))

A(2,0)=A[n]^(1,A(0,0))=A(1,A(1,A(0,0)))
A(2,1)=A[n]^(1,A(2,0))=A(1,A(1,A(2,0)))
A(2,2)=A[n]^(1,A(2,1))=A(1,A(1,A(2,1)))
A(2,3)=A[n]^(1,A(2,2))=A(1,A(1,A(2,2)))

A(0,0,0)=A[n]^(A(0,0),A(0,0))=A(A(A(0,0),A(0,0)),A(A(0,0),A(0,0)),A(A(0,0),A(0,0)),A(A(0,0),A(0,0)))
A(0,0,1)=A[n]^(A(0,0,0),A(0,0,0))=A(A(A(0,0,0),A(0,0,0)),A(A(0,0,0),A(0,0,0)),A(A(0,0,0),A(0,0,0)),A(A(0,0,0),A(0,0,0)))
A(0,0,2)=A[n]^(A(0,0,1),A(0,0,1))=A(A(A(0,0,1),A(0,0,1)),A(A(0,0,1),A(0,0,1)),A(A(0,0,1),A(0,0,1)),A(A(0,0,1),A(0,0,1)))
A(0,0,3)=A[n]^(A(0,0,2),A(0,0,2))=A(A(A(0,0,2),A(0,0,2)),A(A(0,0,2),A(0,0,2)),A(A(0,0,2),A(0,0,2)),A(A(0,0,2),A(0,0,2)))

A(0,1,0)=A[n]^(0,0,A(0,0,0))=A(0,0,A(0,0,A(0,0,0)))
A(0,1,1)=A[n]^(0,0,A(0,1,0))=A(0,0,A(0,0,A(0,1,0)))
A(0,1,2)=A[n]^(0,0,A(0,1,1))=A(0,0,A(0,0,A(0,1,1)))
A(0,1,3)=A[n]^(0,0,A(0,1,2))=A(0,0,A(0,0,A(0,1,2)))

A(0,2,0)=A[n]^(0,1,A(0,0,0))=A(0,1,A(0,1,A(0,0,0)))
A(0,2,1)=A[n]^(0,1,A(0,2,0))=A(0,1,A(0,1,A(0,2,0)))
A(0,2,2)=A[n]^(0,1,A(0,2,1))=A(0,1,A(0,1,A(0,2,1)))
A(0,2,3)=A[n]^(0,1,A(0,2,2))=A(0,1,A(0,1,A(0,2,2)))

A(1,0,0)=A[n]^(0,A(0,0,0),A(0,0,0))=A(0,A(0,A(0,0,0),A(0,0,0)),A(0,A(0,0,0),A(0,0,0)))
A(1,0,1)=A[n]^(0,A(1,0,0),A(1,0,0))=A(0,A(0,A(1,0,0),A(1,0,0)),A(0,A(1,0,0),A(1,0,0)))
A(1,0,2)=A[n]^(0,A(1,0,1),A(1,0,1))=A(0,A(0,A(1,0,1),A(1,0,1)),A(0,A(1,0,1),A(1,0,1)))
A(1,0,3)=A[n]^(0,A(1,0,2),A(1,0,2))=A(0,A(0,A(1,0,2),A(1,0,2)),A(0,A(1,0,2),A(1,0,2)))

A(1,1,0)=A[n]^(1,0,A(0,0,0))=A(1,0,A(1,0,A(0,0,0)))
A(1,1,1)=A[n]^(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,A(1,1,0)))
A(1,1,2)=A[n]^(1,0,A(1,1,1))=A(1,0,A(1,0,A(1,1,1)))
A(1,1,3)=A[n]^(1,0,A(1,1,2))=A(1,0,A(1,0,A(1,1,2)))

A(1,2,0)=A[n]^(1,1,A(0,0,0))=A(1,1,A(1,1,A(0,0,0)))
A(1,2,1)=A[n]^(1,1,A(1,2,0))=A(1,1,A(1,1,A(1,2,0)))
A(1,2,2)=A[n]^(1,1,A(1,2,1))=A(1,1,A(1,1,A(1,2,1)))
A(1,2,3)=A[n]^(1,1,A(1,2,2))=A(1,1,A(1,1,A(1,2,2)))

A(2,0,0)=A[n]^(1,A(0,0,0),A(0,0,0))=A(1,A(1,A(0,0,0),A(0,0,0)),A(1,A(0,0,0),A(0,0,0)))
A(2,0,1)=A[n]^(1,A(2,0,0),A(2,0,0))=A(1,A(1,A(2,0,0),A(2,0,0)),A(1,A(2,0,0),A(2,0,0)))
A(2,0,2)=A[n]^(1,A(2,0,1),A(2,0,1))=A(1,A(1,A(2,0,1),A(2,0,1)),A(1,A(2,0,1),A(2,0,1)))
A(2,0,3)=A[n]^(1,A(2,0,2),A(2,0,2))=A(1,A(1,A(2,0,2),A(2,0,2)),A(1,A(2,0,2),A(2,0,2)))

A(2,1,0)=A[n]^(2,0,A(0,0,0))=A(2,0,A(2,0,A(0,0,0)))
A(2,1,1)=A[n]^(2,0,A(2,1,0))=A(2,0,A(2,0,A(2,1,0)))
A(2,1,2)=A[n]^(2,0,A(2,1,1))=A(2,0,A(2,0,A(2,1,1)))
A(2,1,3)=A[n]^(2,0,A(2,1,2))=A(2,0,A(2,0,A(2,1,2)))

A(2,2,0)=A[n]^(2,1,A(0,0,0))=A(2,1,A(2,1,A(0,0,0)))
A(2,2,1)=A[n]^(2,1,A(2,2,0))=A(2,1,A(2,1,A(2,2,0)))
A(2,2,2)=A[n]^(2,1,A(2,2,1))=A(2,1,A(2,1,A(2,2,1)))
A(2,2,3)=A[n]^(2,1,A(2,2,2))=A(2,1,A(2,1,A(2,2,2)))

　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　　ただしa、bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}
　任意のＬＴ_nの要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_n[f∈Ｆ_p∧p＜a]}
　任意のＬＴ_nの要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_aを次のように定義する。
　　ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　ただしpはaより小さいＬＴ_nの要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
　Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。

>186の訂正です。
　任意のＬＴ_nの要素aに対して、というところを任意の(1,1)でないＬＴ_nの要素aに対して、としてください
　Ｆ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aにおいても同様にa≠(1,1)です。
　aが(1,1)のときのＦ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aについてはあとで定義します

　補足です。
　Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることです

写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴを次のように定義する。
　　　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→x≦y]　を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴを次のように定義する。　
　　　Λ(n)＝aである。
ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→x≦a]　を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎを次のように定義する。
　　　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　　　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎを次のように定義する。
　　　　ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)

このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数と名付けて、これを名もなき巨大数コンテストの無制限部門への投稿とする。


新規スレッドの建て方が分からないのですがここに書いても受理されますか？

>189 大丈夫ですよ！
コピペで解析スレ立てておきますね

>ブルームーンさん

リアムーン数の解析スレッド立てておきました！
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11650141

>184（ozさん）
つまり、非負整数で書かれたところは入れ子にせず、A(～)と書かれた部分はそれを初項にして入れ子にするという感じですか？

>192
はい、その通りです

>170(ozさん)

A(a)=(a+1)*Nとありますが、Nはどうやって確定しますか？

>194
Nは定数公です
一度適当なNを決めたらそれから発生する関数は全て同じNが適用されます
変数として扱いたい場合は最初の定義を次のように変えていただいてもかまいません

A(N,a)=(a+1)*N
A(N,0:n+2)=A^[A(N,0:n+1)](N,A(N,0:n+1):n+1)
A(N,0:n+1,a+1)=A^[A(N,0:n+2)](N,A(N,0:n+1,a):n+1)
A(N,X,b+1,0:n+1)=A^[A(N,Z,0:n+2)](N,X,b,A(N,Z,0:n+2):n+1)
A(N,X,b+1,0:n,a+1)=A^[A(N,Z,0:n+2)](N,X,b,A(N,X,b+1,0:n,a):n+1)

＞195（ozさん）

169の展開例のところに、

A(b+1,a+1)=A^[A[0,0]](b+1,a)

とありますが、これはどのルールを適応したものですか？
また、この場合どこを入れ子にしますか？

>196
それは私の記述の誤りです
正しくは以下の通りです

A(b+1,a+1)=A^[A[0,0]](b,A(b+1,a))

度々すみません
括弧の種類を間違えました

A(b+1,a+1)=A^[A(0,0)](b,A(b+1,a))

私の誤記や説明不足でレスが散逸してしまったのでまとめ直しました
後、定義の最後にB関数を配置して、A関数から発生するB関数の定義とさせていただきます


【定義】

a,b,n　:=　非負整数
N　:=　自然数（定数）
X　:=　0個以上の非負整数
Z　:=　Xと同数の0
a:n　:=　n個のa
a:n+b　:=　a:(n+b)
A^[n](〜)　:=　関数Aのn回の入れ子
　　入れ子のルール1　:=　(〜)内の非負整数の箇所は入れ子にしない
　　入れ子のルール2　:=　(〜)内のA(〜)の箇所はそれを初項にして入れ子にする

A(a)=(a+1)*N
A(0:n+2)=A^[A(0:n+1)](A(0:n+1):n+1)
A(0:n+1,a+1)=A^[A(0:n+2)](A(0:n+1,a):n+1)
A(X,b+1,0:n+1)=A^[A(Z,0:n+2)](X,b,A(Z,0:n+2):n+1)
A(X,b+1,0:n,a+1)=A^[A(Z,0:n+2)](X,b,A(X,b+1,0:n,a):n+1)

B(n)=A^[A(n:n+1)](A(n:n+1):n+1)


【展開例】（展開例は左辺が4変数まで。左辺が5変数以上は定義と展開例で推測願います）

A(0)=N
A(a+1)=A(a)+A(0)

A(0,0)=A^[A(0)](A(0))
A(0,a+1)=A^[A(0,0)](A(0,a))
A(b+1,0)=A^[A(0,0)](b,A(0,0))
A(b+1,a+1)=A^[A(0,0)](b,A(b+1,a))

A(0,0,0)=A^[A(0,0)](A(0,0),A(0,0))
A(0,0,a+1)=A^[A(0,0,0)](A(0,0,a),A(0,0,a))
A(0,b+1,0)=A^[A(0,0,0)](0,b,A(0,0,0))
A(0,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0)](0,b,A(0,b+1,a))
A(c+1,0,0)=A^[A(0,0,0)](c,A(0,0,0),A(0,0,0))
A(c+1,0,a+1)=A^[A(0,0,0)](c,A(c+1,0,a),A(c+1,0,a))
A(c+1,b+1,0)=A^[A(0,0,0)](c+1,b,A(0,0,0))
A(c+1,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0)](c+1,b,A(c+1,b+1,a))

A(0,0,0,0)=A^[A(0,0,0)](A(0,0,0),A(0,0,0),A(0,0,0))
A(0,0,0,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](A(0,0,0,a),A(0,0,0,a),A(0,0,0,a))
A(0,0,b+1,0)=A^[A(0,0,0,0)](0,0,b,A(0,0,0,0))
A(0,0,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](0,0,b,A(0,0,b+1,a))
A(0,c+1,0,0)=A^[A(0,0,0,0)](0,c,A(0,0,0,0),A(0,0,0,0))
A(0,c+1,0,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](0,c,A(0,c+1,0,a),A(0,c+1,0,a))
A(0,c+1,b+1,0)=A^[A(0,0,0,0)](0,c+1,b,A(0,0,0,0))
A(0,c+1,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](0,c+1,b,A(0,c+1,b+1,a))
A(d+1,0,0,0)=A^[A(0,0,0,0)](d,A(0,0,0),A(0,0,0),A(0,0,0))
A(d+1,0,0,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](d,A(d+1,0,0,a),A(d+1,0,0,a),A(d+1,0,0,a))
A(d+1,0,b+1,0)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,0,b,A(0,0,0,0))
A(d+1,0,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,0,b,A(d+1,0,b+1,a))
A(d+1,c+1,0,0)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,c,A(0,0,0,0),A(0,0,0,0))
A(d+1,c+1,0,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,c,A(d+1,c+1,0,a),A(d+1,c+1,0,a))
A(d+1,c+1,b+1,0)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,c+1,b,A(0,0,0,0))
A(d+1,c+1,b+1,a+1)=A^[A(0,0,0,0)](d+1,c+1,b,A(d+1,c+1,b+1,a))

以下略

そういえばこれも投稿できることに気づきましたので投稿します。

>144のダークムーン数を名もなき巨大数コンテストの無制限部門への投稿とする。

＞200(ブルームーンさん)
解析スレッド立てておきました！
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11652134

＞199(ozさん)
定義が正確かは私には判断できないですが、B(n)がパッと見急増加関数でf_ω^ω(n)くらいに見えますね。
多変数アッカーマン関数の対角化くらい？

多変数アッカーマン関数は一見入れ子一箇所しかないですが、入れ子にした右端を他の変数を減らすときに持ってくるので実質全変数の箇所で入れ子にしてるんですよね。
超限順序数絡みになると別なのですが自然数つっこむなら入れ子は一箇所であとは入れ子する箇所を持ってくる方が定義はすっきりして同じくらいの増加度になるのでいいかもです。(この辺は個人の好みですが…)

>202
自分は解析評価が得意ではないので参考にさせていただきます
やはり自然数のみの多変数関数だけではf_ω^ω(n)の壁を越えられなさそうですね
ご意見ありがとうございました

どうなんでしょうね…。

原始数列やY数列を多変数関数とみなすかどうかは意見わかれると思いますが、
あんな感じで入れ子じゃない強化要素を組み込むと壁を越えられるのかもです。

数列ですか
Y数列とか今では巨大数の物差しまで発展してますしね
なかなか困難です

アッカーマン関数に原始数列を組み込んでみました
出来上がる関数A[0,2](a)はε_0の強さを持っていると思います

【定義】
a,b,m,n　:=　非負整数
X　:=　0個以上の非負整数。ただし、[〜]内において原始数列として成り立たない数列は無効
a:n　:=　n個のa
a:n+b　:=　a:(n+b)
a+b:n　:=　(a+b):n
a..m　:=　a,a+1,a+2,a+3,...,m-3,m-2,m-1,m
a..m+b　:=　a..(m+b)
@　:=　左辺=A[X](a+1)　→　@=A[X](a)
　　例1：A[](a+1)=@+1　→　A[](a+1)=A[](a)+1
　　例2：A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](@)　→　A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](A[X,0:n+1](a))

A[](0)=1
A[](a+1)=@+1
A[X,0:n+1](0)=A[X,0:n](1)
A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](@)
A[X,b,b+1:n+1](0)=A[X,b,b+1:n](1)
A[X,b,b+1:n+1](a+1)=A[X,(b,b+1:n):@](@)
A[X,0..m+1,m+2:n+1](0)=A[X,0..m,m+1,m+2:n](1)
A[X,0..m+1,m+2:n+1](a+1)=A[X,0..m,(m+1,m+2:n):@](@)
A[X,0..m+b+3,b+2:n+1](0)=A[X,0..m+b+3,b+2:n](1)
A[X,0..m+b+3,b+2:n+1](a+1)=A[X,0..b,(b+1..m+b+3,b+2:n):@](@)

A[0,2](0)=A[0,1](1)
A[0,2](a+1)=A[0..@](@)

【展開】
A[](0)=1
A[](1)=A[](0)+1
A[](2)=A[](1)+1
A[](3)=A[](2)+1

A[0](0)=A[](1)
A[0](1)=A[](A[0](0))
A[0](2)=A[](A[0](1))
A[0](3)=A[](A[0](2))

A[0,0](0)=A[0](1)
A[0,0](1)=A[0](A[0,0](0))
A[0,0](2)=A[0](A[0,0](1))
A[0,0](3)=A[0](A[0,0](2))

A[0,0,0](0)=A[0,0](1)
A[0,0,0](1)=A[0,0](A[0,0,0](0))
A[0,0,0](2)=A[0,0](A[0,0,0](1))
A[0,0,0](3)=A[0,0](A[0,0,0](2))

A[0,1](0)=A[0](1)
A[0,1](1)=A[0:A[0,1](0)](A[0,1](0))
A[0,1](2)=A[0:A[0,1](1)](A[0,1](1))
A[0,1](3)=A[0:A[0,1](2)](A[0,1](2))

A[0,1,0](0)=A[0,1](1)
A[0,1,0](1)=A[0,1](A[0,1,0](0))
A[0,1,0](2)=A[0,1](A[0,1,0](1))
A[0,1,0](3)=A[0,1](A[0,1,0](2))

A[0,1,0,0](0)=A[0,1,0](1)
A[0,1,0,0](1)=A[0,1,0](A[0,1,0,0](0))
A[0,1,0,0](2)=A[0,1,0](A[0,1,0,0](1))
A[0,1,0,0](3)=A[0,1,0](A[0,1,0,0](2))

A[0,1,0,1](0)=A[0,1,0](1)
A[0,1,0,1](1)=A[0,1,0:A[0,1,0,1](0)](A[0,1,0,1](0))
A[0,1,0,1](2)=A[0,1,0:A[0,1,0,1](1)](A[0,1,0,1](1))
A[0,1,0,1](3)=A[0,1,0:A[0,1,0,1](2)](A[0,1,0,1](2))

A[0,1,1](0)=A[0,1](1)
A[0,1,1](1)=A[(0,1):A[0,1,1](0)](A[0,1,1](0))
A[0,1,1](2)=A[(0,1):A[0,1,1](1)](A[0,1,1](1))
A[0,1,1](3)=A[(0,1):A[0,1,1](2)](A[0,1,1](2))

A[0,1,1,1](0)=A[0,1,1](1)
A[0,1,1,1](1)=A[(0,1,1):A[0,1,1,1](0)](A[0,1,1,1](0))
A[0,1,1,1](2)=A[(0,1,1):A[0,1,1,1](1)](A[0,1,1,1](1))
A[0,1,1,1](3)=A[(0,1,1):A[0,1,1,1](2)](A[0,1,1,1](2))

A[0,1,2](0)=A[0,1](1)
A[0,1,2](1)=A[0,1:A[0,1,2](0)](A[0,1,2](0))
A[0,1,2](2)=A[0,1:A[0,1,2](1)](A[0,1,2](1))
A[0,1,2](3)=A[0,1:A[0,1,2](2)](A[0,1,2](2))

A[0,1,2,2](0)=A[0,1,2](1)
A[0,1,2,2](1)=A[0,(1,2):A[0,1,2,2](0)](A[0,1,2,2](0))
A[0,1,2,2](2)=A[0,(1,2):A[0,1,2,2](1)](A[0,1,2,2](1))
A[0,1,2,2](3)=A[0,(1,2):A[0,1,2,2](2)](A[0,1,2,2](2))

A[0,1,2,3](0)=A[0,1,2](1)
A[0,1,2,3](1)=A[0,1,2:A[0,1,2,3](0)](A[0,1,2,3](0))
A[0,1,2,3](2)=A[0,1,2:A[0,1,2,3](1)](A[0,1,2,3](1))
A[0,1,2,3](3)=A[0,1,2:A[0,1,2,3](2)](A[0,1,2,3](2))

> やはり自然数のみの多変数関数だけではf_ω^ω(n)の壁を越えられなさそうですね

いえ、計算可能関数は全部自然数の多変数関数に翻訳できますし、自然数の１変数関数でもω^ωは超えられますよ。例えばε_0でしたら

https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Elementary_Large_Number

Buchholzのψ_0(ψ_ω(0))でしたら

https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Elementary_Large_Number_beyond_%CF%88_0(%CE%A9_%CF%89)

と

https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/Elementary_Large_Number_beyond_PTO(%CE%A011-CA0)

で扱っています。（３つ目は何度かバグが見つかっているのでまだバグっているかもしれません）

>207
参考ブログありがとうございます

一通り目を通しましたが自分の理解力が無さすぎて正直脳みそが爆発です
でも理解できるようにゆっくりと解釈していきます

＞207 いろんなやり方があるんですね…。

＞206 A[0,1,2,1](3)はどの展開規則を使用してどのように展開される事を想定していますか？

>209
ご指摘ありがとうございます
定義の規則が一部すっぽ抜けてていました
下記の通りです

【>206で抜けていた規則】
A[X,0..m+2,1:n+1](0)=A[X,0..m+2,1:n](1)
A[X,0..m+2,1:n+1](a+1)=A[X,(0..m+2,1:n):@](@)

【想定される展開】
A[0,1,2,1](0)=A[0,1,2](1)
A[0,1,2,1](1)=A[(0,1,2):A[0,1,2,1](0)](A[0,1,2,1](0))
A[0,1,2,1](2)=A[(0,1,2):A[0,1,2,1](1)](A[0,1,2,1](1))
A[0,1,2,1](3)=A[(0,1,2):A[0,1,2,1](2)](A[0,1,2,1](2))

僕のコメントの2・3個目のリンクがバグってて正しいURLに飛べませんね・・すみません

>211
リンク先を見て最初は不思議に思ったですがURLのリンクが一部欠けていたのに気づいたので
コピペでダイレクトにアクセスしましたので気にしないでください

自分の書き込んだ定義にまだバグが潜んでいるかもと心配してます

>206 でまたバグ発見
下記2行の規則はいらないので削除でお願いします
多分投稿するときにこちらを削除するつもりで>210を間違って削除してしまったのかと

A[X,0..m+1,m+2:n+1](0)=A[X,0..m,m+1,m+2:n](1)
A[X,0..m+1,m+2:n+1](a+1)=A[X,0..m,(m+1,m+2:n):@](@)

＞211 urlに()がはいるとリンク反映されないみたいですね…。

＞212 A[0,1,2,3,4,2,3,4,3](2)はどのルールでどのように展開されますか？

>214
すみません
定義の規則が不足してますよね
このパターンはすぐに思いつきません
もう一度考え直します
ご指摘ありがとうございました

>214
これでどうでしょう

【定義】
a,b,m,n　:=　非負整数
X　:=　0個以上の非負整数。ただし、[〜]内において原始数列として成り立たない数列は無効
a:n　:=　n個のa
a:n+b　:=　a:(n+b)
a+b:n　:=　(a+b):n
a..m　:=　a,a+1,a+2,a+3,...,m-3,m-2,m-1,m
a..m+b　:=　a..(m+b)
@　:=　左辺=A[X](a+1)　→　@=A[X](a)
　　例1：A[](a+1)=@+1　→　A[](a+1)=A[](a)+1
　　例2：A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](@)　→　A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](A[X,0:n+1](a))

A[](0)=1　　　　　　……(1)
A[](a+1)=@+1　　　　　　……(2)
A[X,0:n+1](0)=A[X,0:n](1)　　　　　　……(3)
A[X,0:n+1](a+1)=A[X,0:n](@)　　　　　　……(4)
A[X,b,b+1:n+1](0)=A[X,b,b+1:n](1)　　　　　　……(5)
A[X,b,b+1:n+1](a+1)=A[X,(b,b+1:n):@](@)　　　　　　……(6)
A[X,b..m+b+2,b+1:n+1](0)=A[X,b..m+b+2,b+1:n](1)　　　　　　……(7)
A[X,b..m+b+2,b+1:n+1](a+1)=A[X,(b..m+b+2,b+1:n):@](@)　　　　　　……(8)

A[0,2](0)=A[0,1](1)　　　　　　……(9)
A[0,2](a+1)=A[0..@](@)　　　　　　……(10)

【ご指摘の展開】(8)のルールを適用
A[0,1,2,3,4,2,3,4,3](2)=A[0,1,2,3,4,(2,3,4):A[0,1,2,3,4,2,3,4,3](1)](A[0,1,2,3,4,2,3,4,3](1))

＞216
では、A[0,1,2,3,4,2,3,2](2)の場合はどのルールでどのように展開しますか？

>217
すみません
原始数列(0,1,2,3,4,2,3,2)の圧縮前ってどんな数列でしたっけ？

＞218 0,の後に1,2,3,4,2,3を反復する感じだと思います！

>219
ありがとうございます
そしてギブアップです
順序が維持されていない数列の繰り返しを上手く記述する方法を思いつきません
原始数列組み込みアッカーマン関数は一旦保留とさせていただきます
またじっくりと考えてみます
お付き合いいただきありがとうございました

＞220 元の定義を見て噛み砕くといいかもですね…。

↓ご存知かもですが原始数列自体はこちらです
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E6%95%B0%E5%88%97%E6%95%B0

>221
わざわざありがとうございます
今回の件で自分が原始数列をわかっていないことがハッキリしたので改めて取り組んでみます
他にも色んな巨大数があることも紹介してもらったし勉強することが沢山です

＞222 ある程度分かってないと分かってない事がわからなかったりするので難しいですよね。
そういう意味でこうして作ってみて指摘される機会は有意義かもしれないです。

>223
確かに有意義でした

原始数列を組み込んだアッカーマン関数ができました
原始数列を扱う配列はプログラムになってしまいました

【定義】
a,b　:=　非負整数
X　:=　0個以上の非負整数のリスト
a:b　:=　b個のa
a..b　:=　a,a+1,a+2,a+3,...,b-3,b-2,b-1,b
{X}　:=　0個以上の非負整数をまとめた1個の配列
@　:=　左辺=A[X](a+1)　→　@=A[X](a)
　　例1：A[](a+1)=@+1　→　A[](a+1)=A[](a)+1
　　例2：A[X,0](a+1)=A[X](@)　→　A[X,0](a+1)=A[X](A[X](a))
B(x,b)　:=　一個の配列と一個の値を受け取ってリストを出力する関数
リスト　:=　0個以上の非負整数の値が並んだ数列
配列　:=　
　　　　配列はリストを受け取るとリストの数値を各要素に受け取った順番で格納
　　　　配列の各要素は配列[インデック]の形式で参照
　　　　インデックスは0から始まる番号
　　　　配列.lenは配列の要素数を参照
　　　　配列.shift(数値)は元々格納されていた要素を1要素づつ後ろにシフト
　　　　配列.shift(数値)は配列の先頭要素に数値を格納
　　　　配列.listは配列の全要素をリストとして参照

B(x,b){
　　　　// 空配列yを準備
　　　　y = {}

　　　　// 最初に配列xの最後のインデックをiに代入
　　　　// iの値が0になるまでfor{〜}の間を繰り返す
　　　　// 繰り返す度にiの値を1づつ減算
　　　　for i=x.len-1 to 0 step -1{

　　　　　　　　// 配列yの先頭にインデックスiが指し示す配列xの要素の値を格納
　　　　　　　　y.shift(x[i])

　　　　　　　　// インデックスiが指し示す配列xの要素の値とbの値を比較
　　　　　　　　// 配列xの要素の値がbの値より小さかったら繰り返しを抜ける
　　　　　　　　if x[i]<b then break
　　　　}

　　　　// 配列yに格納されている全要素をリストとして出力
　　　　// この結果が関数B(x,b)の戻り値となる
　　　　return y.list
}

A[](0)=1　　　　　　　　……(1)
A[](a+1)=@+1　　　　　　　　……(2)
A[X,0](0)=A[X](1)　　　　　　　　……(3)
A[X,0](a+1)=A[X](@)　　　　　　　　……(4)
A[X,b+1](0)=A[X,B({X},b+1)](1)　　　　　　　　……(5)
A[X,b+1](a+1)=A[X,B({X},b+1):@](@)　　　　　　　　……(6)

A[0,2](0)=A[0,1](1)　　　　　　　　……(7)
A[0,2](a+1)=A[0..@](@)　　　　　　　　……(8)

【展開】
A[](0)=1
A[](1)=A[](0)+1
A[](2)=A[](1)+1

A[0](0)=A[](1)
A[0](1)=A[](A[0](0))
A[0](2)=A[](A[0](1))

A[0,0](0)=A[0](1)
A[0,0](1)=A[0](A[0,0](0))
A[0,0](2)=A[0](A[0,0](1))

A[0,0,0](0)=A[0,0](1)
A[0,0,0](1)=A[0,0](A[0,0,0](0))
A[0,0,0](2)=A[0,0](A[0,0,0](1))

A[0,1](0)=A[0,0](1)
A[0,1](1)=A[0,0:A[0,1](0)](A[0,1](0))
A[0,1](2)=A[0,0:A[0,1](1)](A[0,1](1))

A[0,1,0](0)=A[0,1](1)
A[0,1,0](1)=A[0,1](A[0,1,0](0))
A[0,1,0](2)=A[0,1](A[0,1,0](1))

A[0,1,0,1](0)=A[0,1,0,0](1)
A[0,1,0,1](1)=A[0,1,0,0:A[0,1,0,1](0)](A[0,1,0,1](0))
A[0,1,0,1](2)=A[0,1,0,0:A[0,1,0,1](1)](A[0,1,0,1](1))

A[0,1,1](0)=A[0,1,0,1](1)
A[0,1,1](1)=A[0,1,(0,1):A[0,1,1](0)](A[0,1,1](0))
A[0,1,1](2)=A[0,1,(0,1):A[0,1,1](1)](A[0,1,1](1))

A[0,1,1,1](0)=A[0,1,1,0,1,1](1)
A[0,1,1,1](1)=A[0,1,1,(0,1,1):A[0,1,1,1](0)](A[0,1,1,1](0))
A[0,1,1,1](2)=A[0,1,1,(0,1,1):A[0,1,1,1](1)](A[0,1,1,1](1))

A[0,1,2](0)=A[0,1,1](1)
A[0,1,2](1)=A[0,1,1:A[0,1,2](0)](A[0,1,2](0))
A[0,1,2](2)=A[0,1,1:A[0,1,2](1)](A[0,1,2](1))

A[0,1,2,1](0)=A[0,1,2,0,1,2](1)
A[0,1,2,1](1)=A[0,1,2,(0,1,2):A[0,1,2,1](0)](A[0,1,2,1](0))
A[0,1,2,1](2)=A[0,1,2,(0,1,2):A[0,1,2,1](1)](A[0,1,2,1](1))

A[0,1,2,1,2](0)=A[0,1,2,1,1](1)
A[0,1,2,1,2](1)=A[0,1,2,1,1:A[0,1,2,1,2](0)](A[0,1,2,1,2](0))
A[0,1,2,1,2](2)=A[0,1,2,1,1:A[0,1,2,1,2](1)](A[0,1,2,1,2](1))

A[0,1,2,2](0)=A[0,1,2,1,2](1)
A[0,1,2,2](1)=A[0,1,2,(1,2):A[0,1,2,2](0)](A[0,1,2,2](0))
A[0,1,2,2](2)=A[0,1,2,(1,2):A[0,1,2,2](1)](A[0,1,2,2](1))

A[0,1,2,3](0)=A[0,1,2,2](1)
A[0,1,2,3](1)=A[0,1,2,2:A[0,1,2,2](0)](A[0,1,2,3](0))
A[0,1,2,3](2)=A[0,1,2,2:A[0,1,2,2](1)](A[0,1,2,3](1))

A[0,1,2,3,1](0)=A[0,1,2,3,0,1,2,3](1)
A[0,1,2,3,1](1)=A[0,1,2,3,(0,1,2,3):A[0,1,2,3,1](0)](A[0,1,2,3,1](0))
A[0,1,2,3,1](2)=A[0,1,2,3,(0,1,2,3):A[0,1,2,3,1](1)](A[0,1,2,3,1](1))

A[0,1,2,3,2](0)=A[0,1,2,3,1,2,3](1)
A[0,1,2,3,2](1)=A[0,1,2,3,(1,2,3):A[0,1,2,3,2](0)](A[0,1,2,3,2](0))
A[0,1,2,3,2](2)=A[0,1,2,3,(1,2,3):A[0,1,2,3,2](1)](A[0,1,2,3,2](1))

A[0,1,2,3,3](0)=A[0,1,2,3,2,3](1)
A[0,1,2,3,3](1)=A[0,1,2,3,(2,3):A[0,1,2,3,3](0)](A[0,1,2,3,3](0))
A[0,1,2,3,3](2)=A[0,1,2,3,(2,3):A[0,1,2,3,3](1)](A[0,1,2,3,3](1))

A[0,1,2,3,4](0)=A[0,1,2,3,3](1)
A[0,1,2,3,4](1)=A[0,1,2,3,3:A[0,1,2,3,4](0)](A[0,1,2,3,4](0))
A[0,1,2,3,4](2)=A[0,1,2,3,3:A[0,1,2,3,4](1)](A[0,1,2,3,4](1))

A[0,1,2,3,4,1](0)=A[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4](1)
A[0,1,2,3,4,1](1)=A[0,1,2,3,(0,1,2,3,4):A[0,1,2,3,4,1](0)](A[0,1,2,3,4,1](0))
A[0,1,2,3,4,1](2)=A[0,1,2,3,(0,1,2,3,4):A[0,1,2,3,4,1](1)](A[0,1,2,3,4,1](1))

A[0,1,2,3,4,2](0)=A[0,1,2,3,4,1,2,3,4](1)
A[0,1,2,3,4,2](1)=A[0,1,2,3,(1,2,3,4):A[0,1,2,3,4,2](0)](A[0,1,2,3,4,2](0))
A[0,1,2,3,4,2](2)=A[0,1,2,3,(1,2,3,4):A[0,1,2,3,4,2](1)](A[0,1,2,3,4,2](1))

A[0,1,2,3,4,2,3,2](0)=A[0,1,2,3,4,2,3,1,2,3,4,2,3](1)
A[0,1,2,3,4,2,3,2](1)=A[0,1,2,3,4,2,3,(1,2,3,4,2,3):A[0,1,2,3,4,2,3,2](0)](A[0,1,2,3,4,2,3,2](0))
A[0,1,2,3,4,2,3,2](2)=A[0,1,2,3,4,2,3,(1,2,3,4,2,3):A[0,1,2,3,4,2,3,2](1)](A[0,1,2,3,4,2,3,2](1))

https://docs.google.com/document/d/1l_3f8s353jx5jiVd0vRLSk8K6v5luWaMnow5HcWMrik/edit

これどんくらいの大きさ？
(2)[n]の時点でやる気失せた

停止性は全く不明な関数を作ってみました。
思いつきで作ったものなのでご堪忍を。

【定義】
a,b,n∈ℕ a,b>2とする

f(a,a^n) := n
f(a,b) := f(a,b^a+1) (b≠a^n)

整数列Sと自然数nに対して、自然数S[n]を次のように定める。ただしSの末項を第k項とおいて、非負の整数xに対する関数r(x)をr(0)=1,r(x+1)=r(x)+S_{r(x)}+1で定めておく。
　　Sが空列ならばS[n]=n
　　S_k=0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1})[n+1]
　　k≧r(S_1)かつS_k>0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1},S_k-1)[n+1]
　　k＜r(S_1)かつS_k>0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1},S_k-1,n)[n+1]
ここで、S_nのように下付き文字で数列の第n項を表すとき、第n項が無ければS_n=0とする。

これでω^ω^2の構造になってるかな

修正

整数列Sと自然数nに対して、自然数S[n]を次のように定める。ただしSの末項を第k項とおいて、非負の整数xに対する関数r(x)をr(0)=2,r(x+1)=r(x)+S_{r(x)}で定めておく。
　　Sが空列ならばS[n]=n
　　S_k=0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1})[n+1]
　　k≧r(S_1+1)+S_1+1かつS_k>0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1},S_k-1)[n+1]
　　k＜r(S_1+1)+S_1+1かつS_k>0ならばS[n]=(S_1,S_2,…,S_{k-1},S_k-1,n)[n+1]
ここで、S_nのように下付き文字で数列の第n項を表すとき、第n項が無ければS_n=0とする。

ちなみにコンセプトとしては、例えば(3)[9]=(2,9)[10]=(2,8)[11]=(2,7,11)[12]=(2,7,10,12)[13]のようにいくらでも続く表記を考えた後に、ちょうどよく途中で打ち止められる形を探索しました。

これよくない？
　2↓＝2↑↑2
　3↓＝3↑↑3
　4↓＝4↑↑4
つまり　n↓＝n↑↑n

あとは
　2↓2＝2↑↑↑↑2
　3↓3＝3↑↑↑↑↑↑↑↑↑3
　4↓4＝4↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑4
つまり
　n↓n は n＾2個の↑をnで挟むって感じ

229で言い忘れたことがあったわ
　↓ を挟むやつでルールを書き忘れてたけど　x↓y の場合　x＝y じゃないといけないということ

ちなみにガチ小5やで信じて！！

229と230の者ですが順序数全般にも同じ事を書いていますが同一人物ですパクリと思った人安心してください。

アッカーマン関数多いな

228の表記について
場合分けのために定義されるr(x)を適切に定めれば、理論上いくらでも強い巨大数表記が作られるはず、

それでよく考えると、228の表記が意図通りだとしたら、「(ω^ω^2)から基本列を何回もとってそれ自体を数列とみなす」という発想による数列表記によく似ているのではないかと思ったりした
例えばω+1= (ω^ω^2)[1][2][2][1]だとしたら(1,2,2,1)でωを表したりね
この方向性でどこまで行けるだろう？

>231 順序数全般の方は削除しておきますか？（管理人です！）
一応順序数ではあると思うのですがやや順序数について語る趣旨とはずれていて、こっちのスレの方が主題としてはあっていると思うので・・・。

大幅アプデ

例　　　　　　　　　　　n↑↑nの↑↑はテトレーションの事。そして↑＾nは↑がn本ある事。
2↓2＝＝2↑＾2↑↑2 2
＝2↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑2
例2
2↓3＝2↑＾2↑↑3 2＝2↑＾65536 2
一般化
n↓n＝n↑＾n↑↑n n

n↓m＝n↑＾n↑↑m n

＞234
別にokですよ。

235の事なんですが
n↑＾n↑↑n nの
　　　ここ↑
見にくいですかね？

1つ思った事
アッカーマン関数って数自体が大きいのは分かるんですが
値を出すまで式変形が大量に必要ですよね？
なので巨大数の目的？の「大きい数を簡易的に表し、少ない数で表現する」って
いうのに反してないですかね？

そーいやブルームーンさんは管理人なんですか？

訂正

n↓m＝n↑＾n↑↑m n と書いたんですがn↓m＝n↑＾n↑↑m mとします。（その方が数が大きくなる（多分））

>239
私はここの管理人ではないですよ

1回235のルールで2↓2をやってみようかな
2↓2＝2↑＾2↑↑2 2＝2↑＾16 2＝2↑＾15 2↑＾15 2＝2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2
↑↑2↑↑2↑↑2＝2↑↑30
＝2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾2＾65536
想像以上にデカかったんだな
3↓3＝3↑＾3↑↑3 3＝3↑＾（3↑＾27 3）3 「3↓3＝3→3→3」ということがわかりました。

地味に書いてなかったn↓n↓nとn↓n↓n↓nについて
例　　　　　　　　　一般化
2↓2↓2＝2↓（2↓2）　→ a↓b↓c=c↓(a↓b)
二つ目
例　　　　　　　　　　　　　　一般化
2↓2↓2↓2＝2↓（2↓（2↓2））　→ a↓b↓c↓d＝d↓（c↓（a↓b））
つまり右の数の方が効果が強い。

そういえばラブドールスレっていりますか？

またアプデ（Vr4）
アプデ前　　　　　　　　アプデ後
x↓y＝x↑＾x↑↑y y x↓y＝x↑＾x↑↑↑y y
例
2↓2＝2↑＾2↑↑↑2 2＝2↑＾（2＾2＾2＾2）2＝2↑＾65536 2
後は
A↓＾C B＝A↓↓・・・↓↓B
　　　　　　C本⇧
これはクヌースの矢印のように分解します。
例
3↓↓4＝3↓3↓3↓3です。

Vr5 2つあります。　　↓＾nや↑＾nの様な時は↑や↓がn本あるという意味です。
1つ目
Vr4
n↓m＝n↑＾n↑↑↑m m
Vr5
n↓m＝n↑＾n→n→m→m m
例
3↓4＝3↑＾3→3→4→4 4

2つ目
Vr4
A↓B↓C＝C↓（A↓B）　
Vr5 例
A↓B↓C＝ABC（C↓（A↓B））2↓3↓4＝24（4↓（2↓3））

そういやn↓mの数の名前決めてないですね
ビッグチェーン数とか良いかも。しばらくこれで呼びます。

ビッグチェーン数Vr5，1
n↓m＝n↑＾（n↑＾n→n→n→n m）m
例
3↓3＝3↑＾（3↑＾3→3→3→3 3）3

誰か解析をお願いします
ヤオ数(仮名称)ver3

Y3変換
1、ch[m,n]=m→m→…(nコのm)…→m
2、ch[m,n,(a)]=ch[m,ch[m,…(a重)…ch[m,n]]…(a重)…]
3、ch[m,n,(a,b,c…y,z)]=ch[m,n(a,b,c…y^y,(z-1))]
4、ch[m,n,(a,○b)]=ch[m,n(a,a,…(bコのa)…,a)] (○bは○の中にbが入る)
(アルファベットは全て自然数)

このとき
Y_n=ch[5,4,(4,○m)] (nはY3変換を行った回数)
　　n=1のとき　m=2
　　n>1のとき　m=Y_(n-1)

Y_80をヤオ数(仮名称)ver3とする

ヤオ数(仮名称)1,2は存在はします

ビッグチェーン数Vr6
コンウェイのチェーン表記使うのやっぱやめます（オリジナリティが無い）
n↓m＝n↑＾（n↑＾n↑＾・・・n↑m・・・m m）m
　　　　　　ーーーーーーーーーー
　　　　　　　　m回⇧
3↓3＝3↑＾（3↑＾3↑＾3↑3 3 3）3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　べき乗の終始に「、」をつけています
そして　N↓M↓Lのような場合は
N↓M↓L＝（L↓（N↓M））↑＾、（L↓（N↓M））、（L↓（N↓M））
後は
N↓M↓L↓K＝（K↓（L↓（N↓M）））↑＾、（K↓（L↓（N↓M）））、（K↓（L↓（N↓M）））
って感じでやります

しばらくビッグチェーン数の名でやろうと思ったんですが、チェーンというとコンウェイのチェーン表記なんで変えます
宇宙（スペース）＋反復（レペテーション）＝スペーセーション
意味：宇宙の様に巨大な数を繰り返す
とか良くないですか？
後はN↓M↓・・・B↓Aを何回やるかを表すのに↓の数だけ1スティック2スティックと数えます
例2↓3↓4↓5は3スティックですね

abataさん1ヶ月ぐらいいないですね
なんか巨大数イベでもあるんですかね？

Vr6スペーセーション数で3↓3↓3↓3やってみた。
3↓3↓3↓3＝（3↓（3↓（3↓3）））↑＾（3↓（3↓（3↓3）））（3↓（3↓（3↓3）））
3↓3＝3↑＾（3↑＾3↑＾3↑3 3 3）3
あ、、、、、、、これ計算できない奴や。＝＞ω＜＝　　　＾O＾

スペーセーション数Vr 7（今までのA↓B↓Cみたいな数は変わりません）
［n］ω!m↓l＝（（…（（n！）！）！）…！）！）
　　　　　　 ーーーー ーーーーーーーー
　　　　　　　m↓l回　　　　　m↓l回
ルール：2＜n
［例］
［3］ω!2↓2＝（（（（3！）！）！）！）＝（（（6！）！）！）＝（（720！）！）　　
2↓2＝2↑＾2↑＾2↑2 2 2＝4
Google電卓が∞と言ったのでやめときます。（720！）！って何桁になるかな？
てかこれってVr 7で最小の数なんよな［100］！100↓100とかフツーにやばそう

ファクトリアル（階乗）の派生ツクタ
その名もルアリトクファ　（乗階）(逆から読んだだけ、手抜き、ちょっとしたエンタメ)
表記は簡単
n¡ ＝n＾n−1＾n−2＾n−3＾…1
（例）
4¡＝4＾3＾2＾1＝4＾9＝262144
10＝10＾9＾8＾ 7＾6＾5＾262144
ヒエッ
なおテトレーションの下位互換の模様wwwww

ん？255のやつ
n！m↓lでよくね？（マジレスキッズ感）

228の見てあの時のワイ巨大数初心者すぎん？ってなったわwwww

あ、間違えた229だ

スペーセーション数Vr 7､5
階級をつけます。
例
3↓3‘A＝3↓3 ちなａ↓＾b cの分解方法は245レスにあります。
3↓3‘B＝3↓＾（3↓3‘A）3
3↓3‘C＝3↓＾（3↓3‘B）3
4にすると､､
4↓3‘B＝4↓＾（4↓3‘A）3
一般化
n↓m‘A〜Z＝n↓＾（n↓m‘A〜Y）m
　　 ーーー
この1つ前のアルファベットが⇧
ルール
『‘』の後ろに書くアルファベットは必ず大文字　これ1つだけ

すみません!管理人のabataです！
しばらくチェックできてませんでした！！

ご要望通り、247、248、250、251、252を削除しました！（消えた分ずつ数字がズレています。）
また、アンカがずれてしまったので257の

『ん？260のやつ』
を
『ん？255のやつ』

に修正しておきました！

はじめまして。
0-ネスト数列システム(0-Nest Sequence System)
というものを考えました。
長文になってしまいますがお許しを。

説明
0をネストする。
(0,$w)がPSSで(0,0)(1,1)相当
略記
$n=(0,…,0) (0がn個)
w=ω
e_a=ε_a
ph(a,b)=φ(a,b)//ヴェブレン関数
$w=(0,(0))

構想
(0)=1
(0,0)=2
…
--一重ネストの限界--
(0,(0))=w
(0,(0),(0,0))->(0,(0),(0),…)
…
--二重ネスト(原始数列)の限界--
(0,$w)->(0,$1,$2,…)
(0,$w,$1)=w^(e_0+1)
(0,$w,$1,$1)=w^(e_0+2)
(0,$w,$1,$2)=w^(e_0+w)
(0,$w,$1,$2,$3)=w^(e_0+w^w)
(0,$w,$1,$w)=w^(e_0+e_0)=w^(e_0×2)
(0,$w,$1,$w,$2)=w^(e_0×w)=w^(w^(e_0+1))
(0,$w,$w)=e_1
(0,$w,(0,(0),0))=e_w
(0,$w,(0,(0),0),(0,(0),0))=e_(w^2)
(0,$w,(0,(0),0),(0,(0),0,0))=e_(w^w)
(0,$w,(0,(0),0),(0,(0),0,(0)))=e_(e_0)
//以下、$wを「(0,$1)」から「0,$1」に変更する。
(0,($w),($w,0),($w,$w),($w,$w,$1))=e_(e_w)
(0,($w),(0,$1,$2))=ph(2,0)
(0,($w),(0,$1,$2),(0,$1,$2,$3))=ph(3,0)
…
--三重ネストの限界--ph(w,0)

すみません
定義を書き込んでいませんでした。
ペア数列と対応するように作る予定なのでしばし(確実に一ヵ月以上後)お待ちを。

全てを感じる!
全てが見える!
何時まで経っても定義が完結しない!

全然ph(2,0)からの構想が違う!!
あとから修正版を書き書き込みます。
沢山書き込んですみません。

スペーセーション数vr7､5､1
こんな感じ
n［m↓ℓ‘x］＝①↓＾①↓＾①…①↓＾ ① …① ①
　ーーーー　　　　　ーーーー　　　　　ーーー
面倒臭い　　　　　　　n回　　　　　　　n回
のでここを
①とする

お試し
2［3↓3‘B］＝(3↓3‘B）↓＾(3↓3‘B) (3↓3‘B)
＝(3↓＾(3↓3)3)↓＾(同じ奴) (以下略)
ﾃﾞｯｶｸﾅｯﾀｰ

あ、ちなみに3↓＾3↓3 3は
3↓3＝3↑＾3↑＾3↑＾3↑3 3 3 3＝3↑＾3↑＾3↑＾27 3 3 3
つまり
3↓＾3↓3 3＝3↓↓↓…↓↓↓3
　　　　　　　ーーーーーーー
　　　　　(3↑＾3↑＾3↑27 3 3 3)本ある

≫267
スパコンでも値を出すのにg64(4)不可説不可説転年くらいかかれば計算不可能なんだぁよ（ゴリ押し）

>>270
マジレス失礼します。
計算不可能関数ていうのは、
与えられた関数F(n)とが任意のチューリングマシンM(n)があってF(n)=M(n)と絶対にならない
ということだ。
というか0-NSS完成したので見てもらっていいですか？

はい定義を出します。
長文すまん

定義
集合Mを以下のように再帰的に定義する。
1. 0個の0の配列はMの元である。
2. 0のみの数列はMの元である。
3. Mの元で出来た数列はMの元である。
以上の操作の有限回の繰り返しで出来るもののみがMの元である。
Mの元を「ゼロネスト原始数列」と名付け、
最後に0が存在しないゼロネスト原始数列を、「極限ゼロネスト原始数列」と名付ける。
0個の0を∅とする。
q,rをゼロネスト原始数列とする。
s,tを∅ではないゼロネスト原始数列とし、uを極限ゼロネスト原始数列とする。
(例：(0,0,(0,(0),0,(0,(0),0)),0))

SはMの元と非負整数からMの元を生み出す写像である。
+は数列の連結を表す。(例：(0,(0))+((0),0,0)=(0,(0),(0),0,0))
S(∅,n)=∅
S(s+(0),n)=s
S(s+(u),n)=s+S(u,0)+…+S(u,n)
S(q+(0)+r+((0)),n)=q+(0)+r+…+(0)+r
S(q+(t)+r+(t,0),n)=q+(t)+r+…+(t)+r ((t),rがn個)

限界関数
L(n)=(0,(0,(…(0,(0))…))) (0がn個)

N0はMの元と非負整数から、非負整数を生み出す写像である。
計算規則
+を文字列としての連結とする。
1. N0()[n]=n
2. N0(s)[n]=N0(S(s,n+1))[n+1]

巨大関数と巨大数
F(n)=N0(L(n))[n]
F(F(F(F(F(F(F(F(F(9)))))))))を「0-ネスト原始数列数」と名付ける。

気体
F(n)がFGHでf_[SVO](n)またはf_[BHO](n)以上になることを自分で勝手に期待している。

訂正

定義
集合Mを以下のように再帰的に定義する。
1. 0個の0の配列はMの元である。
2. 0のみの数列はMの元である。
3. Mの元で出来た数列はMの元である。
以上の操作の有限回の繰り返しで出来るもののみがMの元である。
Mの元を「ゼロネスト原始数列」と名付け、
最後に0が存在しないゼロネスト原始数列を、「極限ゼロネスト原始数列」と名付ける。
0個の0を∅とする。
q,rをゼロネスト原始数列とする。
s,tを∅ではないゼロネスト原始数列とし、uを極限ゼロネスト原始数列とする。
(例：(0,0,(0,(0),0,(0,(0),0)),0))

SはMの元と非負整数からMの元を生み出す写像である。
+は数列の連結を表す。(例：(0,(0))+((0),0,0)=(0,(0),(0),0,0))
S(∅,n)=∅
S(s+(0),n)=s
S(s+(u),n)=s+S(u,0)+…+S(u,n) (n+1個)
S(q+(0)+r+((0)),n)=q+(0)+r+…+(0)+r ((0)+rがn個)
S(q+(t)+r+(t,0),n)=q+(t)+r+…+(t)+r ((t)+rがn個)

限界関数
L(n)=(0,(0,(…(0,(0))…))) (0がn個)

N0はMの元と非負整数から、非負整数を生み出す写像である。
計算規則
+を文字列としての連結とする。
1. N0()[n]=n
2. N0(s)[n]=N0(S(s,n+1))[n+1]

巨大関数と巨大数
F(n)=N0(L(n))[n]
F(F(F(F(F(F(F(F(F(9)))))))))を「0-ネスト原始数列数」と名付ける。

計算例
N0((0,(0)))[3]=N0((0,0,0,0))[3]=…=N0()[7]=7
N0((0,(0),(0)))[2]=N0((0,(0),0,(0),0,(0)))[3]=…=H_{ω*3}(3)
N0((0,(0,(0))))[2]=N0((0,∅,(0),(0,0),(0,0,0)))[3]=H_{ε_0}(2)

ほんまごめん
追加
任意のa∈Mに対して、a+∅=aであり∅+a=aである。

集合OTを以下のように再帰的に定義する。
任意の非負整数nについて、L(n)∈OTである。
任意のa∈Mと非負整数nについて、S(a,n)∈OTである。


訂正
Mの定義
集合Mを以下のように再帰的に定義する。
1. 0個の0の配列はMの元である。
2. 0のみの配列はMの元である。
3. Mの元で出来た配列はMの元である。

ごめん>>274間違ってる。
ちなOTは標準形な。
近似
いろいろ
N0(a,n)をa[n]と略記する。
多変数ヴェブレン関数をp(x_1,…,x_i)とする。
×を*と略記する。

(0,(0,(0),(0)))[2]≒H_{p(2,0)}(2)
(0,(0,(0),(0,0)))[2]≒H_{p(ω,0)}(2)
(0,(0,(0),(0,0),(0)))≒H_{p(ω+1,0)}(2)
(0,(0,(0),(0,0),(0),(0,0)))[2]≒H_{p(ω*2,0)}(2)
(0,(0,(0),(0,0),(0,0)))[2]≒H_{p(ω^2,0)}(2)
(0,(0,(0),(0,0),(0,0,0))[2]≒H_{p(ω^ω,0)}(2)
となることから次のことが予想される。：
(0,(0,(0,(0))))[2]≒H_{p(p(1,0),0)}(2)=H_{p(p(p(0,0),0),0)}(2)
となることから次のことが予想される。
L(n)[n]≒H_{Γ_0}(n)=H_{p(1,0,0)}(n)
過信して
考案しました。
0-NPSS(0-ネストペア数列)を作っても
自然な拡張だとEBOCFでのψ_0(Ω_{Γ_0})レベルだと思われるのでクソ弱い。
はてさてこの先どうなることやら。

ごめん0-NPSSの嘘。

>>268
スペーセーション数vr7､5､1 解析(勘)
上から抑えてF_{ω^3}。(多変数アッカーマンでA(1,0,0,b)くらい)
下から抑えてF_{ω*2}より弱い気もする。(4つ組チェーンの限界)


>>249
ヤオ数を真面目に解析。
----------
ch[m,n,(a,…,b,1)]とかでch[m,n,(a,…,b,0)]になり、
自然数に0を入れる流儀を採用するなら、次の展開で、ch[m,n,(a,…,(b^b)^(b^b),-1)]で
採用できるルールが存在しないために、
ヤオ数(仮名称)ver3はIll-definedである。
うまくできればF_{ω^2+4}くらい行く。

誰か解析してくれぇ

偽G数列(レベル3)
定義
便利
Nは非負整数全ての集合である。
*は数列の連結とし、
j,k,iを正整数とする。
要素数が0の数列は()と表記する。

表記
正整数の列の集合Tとその部分集合PTを以下のように再帰的に定義する。
1. (1)∈Tかつ(1)∈PTである。
2. 全てのx_1,…,x_{i+1}∈Tに対して、x_1*…*x_{i+1}∈Tである。
3. 全てのiについて、{i}∈Tかつ{i}∈PTである。ただし、{i}は空の数列または以下の条件をすべて満たす数列である。
3-1. 初項がiである。
3-2. {i}=(x_1,…,x_k)と表せられるのであれば、全てのx_j(0<j<k)においてx_(j+1)-x_jが3以下である。
3-3. 全ての項がi以上である。

計算可能性に意味を持たせるためにωを単なる文字列として扱い、N+:=N⋃{ω}とする。
計算可能全域写像
$:N+→T
を以下のように再帰的に定義する。
$nのように表記する。
1. n=0ならば、$n:=()である。
2. n=1ならば、$n:=(1)である。
3. n=ωならば、$n:=(1,2)である。
4. n∈{0,1,ω}ではないならば、$n:=$(n-1)*$1である。

もう一回便利
Tの部分集合KTを以下のように定義する。
全てのa∈Tに対して、(1)*a∈KTである。
以下、x,y∈Nである。

順序
T上の二項関係s<tを以下のように再帰的に定義する。
X∈Tであり、x,y∈N\{$0}である。
1. t=$0ならば、s<tは偽である。
2. t=ではないかつs=$0ならば、s<tは真である。
3. t=$0ではないかつs=a+bを満たす(a,b)∈PT×(T\{()})が存在するならば、
3-1. t=c*dを満たす(c,d)∈PT×KTが存在するならば、s<tは以下のいずれかが成り立つことと同値である。:
3-1-1. a<cである。
3-1-2. a=cかつb<dである。
3-2. t=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}である({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるとき、s<tはa<tと同値である。
4. t=$0ではないかつs=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
4-1. t=$0ではないかつs=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、s<tはa<tと同値である。
4-2. t=Y*{y}*{y+3}*{y*2}*{y+1}を満たす({y+3},{y+2},{y+1})∈Tが一意に定まるならば、s<tは以下のいずれかが成り立つことと同値である。
4-2-1. a<dである。
4-2-2. a=dかつb<eである。
4-2-3. a=dかつb=eかつc<fである。
以下、s=tまたはs<tであることをs<=tと表記する。

共終数
s∈Tに対して、写像
dom:T→T
を以下のように同時に再帰的に定める。
1. s=$0ならば、dom(s):=$0である。
2. s=a*bを満たす(a,b)∈PT×KTが存在するならば、dom(s):=bである。
3. s=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
3-1. dom({x+1})=$0ならば、
3-1-1. dom({x+2})=$0ならば、
3-1-1-1. dom({x+3})∈{$0,$1}ならば、dom(s):=sである。
3-1-1-2. dom({x+3})∈{$0,$1}ではないならば、dom(s):={x+3}である。
3-1-2. dom({x+2})=$1ならば、dom(s):=sである。
3-1-3. dom({x+2})∈{$0,$1}ではないならば、
3-1-3-1. dom({x+2})<sならば、dom(s):=dom({x+2})である。
3-1-3-2. s<=dom({x+2})ならば、dom(s):=$ωである。
3-2. dom({x+1})=$1ならば、dom(s):=$ωである。
3-3. dom({x+1})∈{$0,$1}ならば、
3-3-1. dom({x+1})<sならば、dom(s):=dom({x+1})である。
3-3-2. s<=dom({x+1})ならば、dom(s):=$ωである。

基本列
計算可能全域写像
[]:T^2→T
を以下のように再帰的に定義する。:
s[t]と表記する。
1. s=$0ならば、s[t]:=$0である。
2. s=a*bを満たす(a,b)∈PT×KTが存在するならば、b':=b[t]とする。
2-1. b'=$0ならば、s[t]:=aである。
2-2. そうでないならば、s[t]:=a+b'である。
3. s=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
3-1. dom({x+1})=$0ならば、
3-1-1. dom({x+2})=$0ならば、
3-1-1-1. dom({x+3})∈{$0,$1}ならば、s[t]:=Tである。
3-1-1-2. dom({x+3})∈{$0,$1}ではないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}[t]*{x+2}*{x+1}である。
3-1-2. dom({x+2})=$1ならば、s[t]:=Tである。
3-1-3. dom({x+2})∈{$0,$1}ではないならば、
3-1-3-1. dom({x+2})<sならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[t]*{x+1}である。
3-1-3-2. s<=dom({x+2})ならば、dom({x+2})=Y*(y)*{y+3}*{y+2}*$0を満たす({y+3},{y+2})∈T^2が一意に定まる。
3-1-3-2-1. dom({y+2})=$1ならば、
3-1-3-2-1-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]=X*(x)*{x+3}*{z+2}*{x+1}を満たす{z+2}∈Tが存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*{z+2}]*{x+1}である。
3-1-3-2-1-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[Y*(y)*{{y+3}[0]}*$0*$0]*{x+1}
3-2. dom({x+1})=$1ならば、
3-2-1. t=t[$0]*$1ならば、s[t]:=s[t[$0]]*s[$1]である。
3-2-2. t=t[$0]*$1ではないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[$0]である。
3-3. dom({x+1})∈{$0,$1}ではないとする。
3-3-1. dom({x+1})<sならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[t]
3-3-2. s<=dom({x+1})ならば、dom({x+1})=Y*(y)*{y+3}*{y+2}*$0を満たす({y+3},{y+2})∈T^2が一意に存在する。
3-3-2-1. dom({y+2})=$1とする。
3-3-2-1-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{z+1}を満たす{z+1}が一意に存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*{z+1}]である。
3-3-2-1-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*$0]
3-3-2-2. dom({y+2})=$1ではないとする。
3-3-2-2-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{z+1}を満たす{z+1}∈Tが一意に存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}[$0]*$0*$0]である。
3-3-2-2-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*$0*$0]

FGH
s∈Tと非負整数nに対して、写像
NG:T×N→N
を「偽G数列(レベル3)」(英語：Not G sequence level 3)と名付ける。
偽G数列(レベル3)は以下のように表記される。
NG_s(n)
偽G数列(レベル3)は以下のように再帰的に計算される。
1. s=$0ならば、NG_s(n)=n
2. $0<sならば、NG_s(n)=NG_s[$(2n)](2n)

限界関数
正整数iに対して、
λ:N→T
を以下のように再帰的に定義する。
1. λ(1)=(1,2)
2. λ(i+1)=λ(i)*$(3i-1)

命名
(1,2,5,2,5)[2525]を「にっこにこ数(。・∀・。)」と名付ける。
(1,2,5,6)[9]を「二宮大翔の大予言レベルω」と名付ける。
λ(9)[9]を「このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{EKBO}(9)くらいだと思いま数。」と名付ける。
このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{KBO}(9)くらいだと思いま数。は略して「くま3と対応したいので数」です。

訂正
原作は巨WikiユーザーのGaojiさんです。
で、$のところのUみたいなのは和集合です。(ユー=U,和集合=⋃)
\は補集合の記号にしてもらって、集合A,Bに対するA^nとかA×Bとかはデカルト積ということでお願いします。

定義
便利
Nは非負整数全ての集合である。
*は数列の連結とし、
j,k,iを正整数とする。
要素数が0の数列は()と表記する。

表記
正整数の列の集合Tとその部分集合PTを以下のように再帰的に定義する。
1. (1)∈Tかつ(1)∈PTである。
2. 全てのx_1,…,x_{i+1}∈Tに対して、x_1*…*x_{i+1}∈Tである。
3. 全てのiについて、{i}∈Tかつ{i}∈PTである。ただし、{i}は空の数列または以下の条件をすべて満たす数列である。
3-1. 初項がiである。
3-2. {i}=(x_1,…,x_k)と表せられるのであれば、全てのx_j(0<j<k)においてx_(j+1)-x_jが3以下である。
3-3. 全ての項がi以上である。

計算可能性に意味を持たせるためにωを単なる文字列として扱い、N+:=N⋃{ω}とする。
計算可能全域写像
$:N+→T
を以下のように再帰的に定義する。
$nのように表記する。
1. n=0ならば、$n:=()である。
2. n=1ならば、$n:=(1)である。
3. n=ωならば、$n:=(1,2)である。
4. n∈{0,1,ω}ではないならば、$n:=$(n-1)*$1である。

もう一回便利
Tの部分集合KTを以下のように定義する。
全てのa∈Tに対して、(1)*a∈KTである。
以下、x,y∈Nである。

順序
T上の二項関係s<tを以下のように再帰的に定義する。
X∈Tであり、x,y∈N\{$0}である。
1. t=$0ならば、s<tは偽である。
2. t=ではないかつs=$0ならば、s<tは真である。
3. t=$0ではないかつs=a*bを満たす(a,b)∈PT×KTが存在するならば、
3-1. t=c*dを満たす(c,d)∈PT×KTが存在するならば、s<tは以下のいずれかが成り立つことと同値である。:
3-1-1. a<cである。
3-1-2. a=cかつb<dである。
3-2. t=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}である({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるとき、s<tはa<tと同値である。
4. t=$0ではないかつs=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
4-1. t=$0ではないかつs=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、s<tはa<tと同値である。
4-2. t=Y*(y)*{y+3}*{y+2}*{y+1}を満たす({y+3},{y+2},{y+1})∈Tが一意に定まるならば、s<tは以下のいずれかが成り立つことと同値である。
4-2-1. a<dである。
4-2-2. a=dかつb<eである。
4-2-3. a=dかつb=eかつc<fである。
以下、s=tまたはs<tであることをs<=tと表記する。

共終数
s∈Tに対して、写像
dom:T→T
を以下のように同時に再帰的に定める。
1. s=$0ならば、dom(s):=$0である。
2. s=a*bを満たす(a,b)∈PT×KTが存在するならば、dom(s):=bである。
3. s=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
3-1. dom({x+1})=$0ならば、
3-1-1. dom({x+2})=$0ならば、
3-1-1-1. dom({x+3})∈{$0,$1}ならば、dom(s):=sである。
3-1-1-2. dom({x+3})∈{$0,$1}ではないならば、dom(s):={x+3}である。
3-1-2. dom({x+2})=$1ならば、dom(s):=sである。
3-1-3. dom({x+2})∈{$0,$1}ではないならば、
3-1-3-1. dom({x+2})<sならば、dom(s):=dom({x+2})である。
3-1-3-2. s<=dom({x+2})ならば、dom(s):=$ωである。
3-2. dom({x+1})=$1ならば、dom(s):=$ωである。
3-3. dom({x+1})∈{$0,$1}ならば、
3-3-1. dom({x+1})<sならば、dom(s):=dom({x+1})である。
3-3-2. s<=dom({x+1})ならば、dom(s):=$ωである。

基本列
計算可能全域写像
[]:T^2→T
を以下のように再帰的に定義する。:
s[t]と表記する。
1. s=$0ならば、s[t]:=$0である。
2. s=a*bを満たす(a,b)∈PT×KTが存在するならば、b':=b[t]とする。
2-1. b'=$0ならば、s[t]:=aである。
2-2. そうでないならば、s[t]:=a*b'である。
3. s=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}を満たす({x+3},{x+2},{x+1})∈T^3が一意に定まるならば、
3-1. dom({x+1})=$0ならば、
3-1-1. dom({x+2})=$0ならば、
3-1-1-1. dom({x+3})∈{$0,$1}ならば、s[t]:=Tである。
3-1-1-2. dom({x+3})∈{$0,$1}ではないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}[t]*{x+2}*{x+1}である。
3-1-2. dom({x+2})=$1ならば、s[t]:=Tである。
3-1-3. dom({x+2})∈{$0,$1}ではないならば、
3-1-3-1. dom({x+2})<sならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[t]*{x+1}である。
3-1-3-2. s<=dom({x+2})ならば、dom({x+2})=Y*(y)*{y+3}*{y+2}*$0を満たす({y+3},{y+2})∈T^2が一意に定まる。
3-1-3-2-1. dom({y+2})=$1ならば、
3-1-3-2-1-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]=X*(x)*{x+3}*{z+2}*{x+1}を満たす{z+2}∈Tが存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*{z+2}]*{x+1}である。
3-1-3-2-1-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}[Y*(y)*{{y+3}[0]}*$0*$0]*{x+1}
3-2. dom({x+1})=$1ならば、
3-2-1. t=t[$0]*$1ならば、s[t]:=s[t[$0]]*s[$1]である。
3-2-2. t=t[$0]*$1ではないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[$0]である。
3-3. dom({x+1})∈{$0,$1}ではないとする。
3-3-1. dom({x+1})<sならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[t]
3-3-2. s<=dom({x+1})ならば、dom({x+1})=Y*(y)*{y+3}*{y+2}*$0を満たす({y+3},{y+2})∈T^2が一意に存在する。
3-3-2-1. dom({y+2})=$1とする。
3-3-2-1-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{z+1}を満たす{z+1}が一意に存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*{z+1}]である。
3-3-2-1-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*{y+2}[$0]*$0]
3-3-2-2. dom({y+2})=$1ではないとする。
3-3-2-2-1. t=$iを満たすi∈N\{0}とs[t[$0]]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{z+1}を満たす{z+1}∈Tが一意に存在するならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}[$0]*$0*$0]である。
3-3-2-2-2. そうでないならば、s[t]:=X*(x)*{x+3}*{x+2}*{x+1}[Y*(y)*{y+3}*$0*$0]

FGH
s∈Tと非負整数nに対して、写像
NG:T×N→N
を「偽G数列(レベル3)」(英語：Not G sequence level 3)と名付ける。
偽G数列(レベル3)は以下のように表記される。
NG_s(n)
偽G数列(レベル3)は以下のように再帰的に計算される。
1. s=$0ならば、NG_s(n)=n
2. $0<sならば、NG_s(n)=NG_s[$(2n)](2n)

限界関数
正整数iに対して、
λ:N→T
を以下のように再帰的に定義する。
1. λ(1)=(1,2)
2. λ(i+1)=λ(i)*$(3i-1)

命名
(1,2,5,2,5)[2525]を「にっこにこ数(。・∀・。)」と名付ける。
(1,2,5,6)[9]を「二宮大翔の大予言レベルω」と名付ける。
λ(9)[9]を「このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{EKBO}(9)くらいだと思いま数。」と名付ける。
このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{KBO}(9)くらいだと思いま数。は略して「くま3と対応したいので数」です。

ごめん命名のところなんやけど、

このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{KBO}(9)くらいだと思いま数。は略して「くま3と対応したいので数」です。
じゃなくて、
このシステムはくま3に対応しようとしていま数。そしてこの巨大数はH_{EKBO}(9)くらいだと思いま数。は略して「くま3と対応したいので数」です。
でした。

よっしゃ予言通り！
連続投稿ほんますまん


Uみたいなのは和集合です。(ユー=U,和集合=⋃)
原作は巨WikiユーザーのGaojiさんと多変数ψを作ったMitsuki1729さんとその元を作ったKanrokotiさんです。
Mitsukiさんほんまごめん！コピペを雀の涙程度しか変更してない！だからコピペのコピペなのでKanrokotiさんにもほんまごめん！

定義
明記しない限り、λは固定された値とする。また、定義は上から順に適用される。
便利
Nは非負整数全ての集合である。
*は数列の連結とし、
k,iを正整数とする。
要素数が0の数列は()と表記する。
λ>2である。
数列sと整数wに対して、s+wとはsの全ての要素にwを足すことである。

表記
正整数の列の集合Tとその部分集合PTを以下のように再帰的に定義する。:
1. (1)∈Tかつ(1)∈PTである。
2. 全てのx_1,…,x_(i+1)∈Tに対して、x_1*…*x_(i+1)∈Tである。
3. 全てのiについて、{i}∈Tかつ{i}∈PTである。ただし、{i}は空の数列または以下の条件をすべて満たす数列である。
3-1. 初項がiである。
3-2. 全ての項がi以上である。

s∈PTとn∈{n∈N|0<n≦λ}に対して、th(s,n)を以下のように定義する。:
1. X=(x)*{x+λ}*…*{x+1}となる({x+λ},…,{x+1})∈T^λが一意に存在する。
1-1. th(s,n)={x+(λ-n+1)}である。。
AT⊂Tを以下のように定義する。
1. (1)∈ATである
2. s∈Tの第k項(1から数え始める)をs_kとしたとき、s_1≦3が成立する全てのsに対して、(1)*s∈ATである。
ATの意図は色々あって初項に1が居てかつTの部分集合が欲しいから。
N+はNの元とωのみを元として持つ集合である。
ここで、ωは順序数ではなく文字列である。
n∈N+に対して$nを以下のように再帰的に定義する。:
1. n=0ならば、$n=()である。
2. n=1ならば、$n=(1)である。
3. n=ωならば、$n=(1,2)である。
4. 1~3のどれも当てはまらない時は、$n=$(n-1)*(1)

順序
X,Y∈Tに対し、2項関係X<Yを以下のように再帰的に定義する。:
1. もしX=()ならば、X<YはY≠()と同値である。
2. ここで、X∈PTとする。
2-1. もしY=()ならば、X<Yは偽である。
2-2. ここでY∈PTとする。
2-2-1. もしth(X,n)≠th(Y,n)を満たすn≦λが存在するならば、そのようなnのうち最小のものをn'とするとX<Yはth(X,n')<th(Y,n')と同値である。
2-2-2. そうでないならば、X<Yは偽である。
2-3. もしY=Y_1*Y_2を満たすY_1∈PTとY_2∈ATが存在するならば、X<YはX<Y_1またはX=Y_1と同値である。
3. ここでX=X_1*X_2を満たすX_1∈PTとX_2∈ATが存在するとする。
3-1. もしY=()ならば、X<Yは偽である。
3-2. もしY∈PTならば、X<YはX_1<Yと同値である。
3-3. ここでY=Y_1*Y_2を満たすY_1∈PTとY_2∈ATが存在するとする。
3-3-1. もしX_1=Y_1ならば、X<YはX_2<Y_2と同値である。
3-3-2. もしX_1≠Y_1ならば、X<YはX_1<Y_1と同値である。

共終数
全域(のはず)再帰的写像
dom:T→T
を以下のように再帰的に定義する。:
dom(s)と表記する。
1. もしX=()ならば、dom(X)=()である。
2. ここでX∈PTとする。
2-1. ここでdom(th(X,n))≠()となるような自然数n≦λが存在したとする。そのようなnの中で最大のものをn_0とする。
2-1-1. もしn_0≠λかつdom(th(X,n_0))=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-2. n_0=λかつdom(th(X,n_0))>$ωでないならば、dom(X)=$ωである。
2-1-3. ここでdom(th(X,n_0))≠$1とする。
2-1-3-1. dom(th(X,n_0))<Xならば、dom(X)=dom(th(X,n_0))である。
2-1-3-2. そうでないならば、dom(X)=$ωである。
2-2. dom(th(X,n))≠()となるような自然数n≦λが存在しないならば、dom(X)=Xである。
3. もしX=X_1*X_2*...*X_mを満たすX_1∈PT X_2,...,X_m∈AT (2≦m<∞)が存在するならば、dom(X)=dom(X_m)である。

基本列
全域再帰的写像
expand:T^2→T
を以下のように再帰的に定義する。:
expand(X,Y)と表記する。
1. もしX=()ならば、expand(X,Y)=()である。
2. ここでX=X=(x)*{x+λ}*…*{x+1}となる({x+λ},…,{x+1})∈T^λが一意に定まるとする。
2-1. もしdom(th(X,n))≠()となるような正の整数n≦λが存在しないならば、expand(X,Y)=()である。
2-2. そうでないならば、そのようなnの中で最大のものをn_0とする。
2-2-1. ここでdom(th(X,n_0))=$1とする。
2-2-1-1. ここでn_0=λとする。
2-2-1-1-1. もしY=$k (1≦k<∞)ならば、expand(X,Y)=X=(x)*expand({x+λ},())*…*{x+1}*…*(x)*expand({x+λ},())*…*{x+1} ((x)*expand({x+λ},())*…*{x+1}がk個)である。
2-2-1-1-2. そうでないならば、expand(X,Y)=()である。
2-2-1-2. n_0<λならば、expand(X,Y)=Yである。
2-2-2. もしn_0=λかつdom(th(X,n_0))=$ωならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*…*expand({x+1},Y)である。
2-2-3. ここでdom(th(X,n_0))≠(),$1とする。
2-2-3-1. もしdom(th(X,n_0))<Xならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*…*expand({x+n_0},Y)*…*{x+1}である。
2-2-3-2. そうでないならば、dom(th(X,n_0))=(y)*{y+λ}*…*{y+2}*{y+1} ({y+λ},…,{y+2},{y+1}∈T)とおく。ここで、th(dom(th(X,n_0)),i)≠()となるiのうち最も大きいものをi'とおく。
2-2-3-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつth(expand(X,expand(Y,())),n_0)=ΓとなるΓ∈Tが一意に存在するならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ},...,expand(X_{n_0},(y)*{y+λ}*...*expand({y+i'},())*Γ*()*...*())*...*{x+1} (0がλ-(i'+1)個)である。
2-2-3-2-2. そうでないならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*...*expand({x+n_0},(y)*{y+λ}*...*expand({y+i'},())*()*...*())*...*{x+1}(()がλ-i'個)である。
3. ここでX=X_1*X_2を満たすX_1∈T、X_2∈AT が存在するとする。
3-1. もしexpand(X_2,Y)≠()ならばexpand(X,Y)=X_1*expand(X_2,Y)である。
3-2. もしexpand(X_2,Y)=()ならばexpand(X,Y)=X_1である。

限界関数
全域再帰的写像
δ:N\{0}→T
を以下のように定義する。
δ(n)のように表記する。
1. δ(n)=(1,2,n)である。

意味もない標準形
数列系表記だが意味もなくOT⊂Tを以下のように再帰的に定義する。:
1. いかなるn∈N\{0}に対しても、δ(n)∈OTである。
2. いかなるs∈OTとn∈N\{0}に対しても、expand(s,$n)∈OTである。
OTの元だとたぶん停止することを保証できるよ。停止するかどうかは知らないけどね。

関数
計算可能全域関数
NGseqω:T×N→N
を以下のように再帰的に定義する。
NGseqω(s,n)のように表記する。
1. s=()ならば、NGseqω(s,n)=nである。
2. s≠()ならば、NGseqω(s,n)=NGseqω(expand(s,$n),n+1)

F(i):=NGseqω(δ(i),i)

命名
「値：名前」と書きます。意味は「値を名前と名付ける。」という感じ。
NGseqω((1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29),31)：二宮大翔の偽予言レベルΩ
NGseqω((1,2,777),777)：ラッキーで数
F(F(F(F(F(F(F(F(F(9)))))))))：偽G数列(レベルω)数

ほんまごめん
λ>0かつλ∈Nです。

完成版v1.0

定義
明記しない限り、λは固定された値とする。また、定義は上から順に適用される。
便利
Nは非負整数全ての集合である。
*は数列の連結とし、
k,iを正整数とする。
要素数が0の数列は()と表記する。
λ>0かつλ∈N。
数列sと整数wに対して、s+wとはsの全ての要素にwを足すことである。

表記
正整数の列の集合Tとその部分集合PTを以下のように再帰的に定義する。:
1. (1)∈Tかつ(1)∈PTである。
2. 全てのx_1,…,x_(i+1)∈Tに対して、x_1*…*x_(i+1)∈Tである。
3. 全てのiについて、{i}∈Tかつ{i}∈PTである。ただし、{i}は空の数列または以下の条件をすべて満たす数列である。
3-1. 初項がiである。
3-2. 全ての項がi以上である。

s∈PTとn∈{n∈N|0<n≦λ}に対して、th(s,n)を以下のように定義する。:
1. X=(x)*{x+λ}*…*{x+1}となる({x+λ},…,{x+1})∈T^λが一意に存在する。
1-1. th(s,n)={x+(λ-n+1)}である。。
AT⊂Tを以下のように定義する。
1. (1)∈ATである
2. s∈Tの第k項(1から数え始める)をs_kとしたとき、s_1≦3が成立する全てのsに対して、(1)*s∈ATである。
ATの意図は色々あって初項に1が居てかつTの部分集合が欲しいから。
N+はNの元とωのみを元として持つ集合である。
ここで、ωは順序数ではなく文字列である。
n∈N+に対して$nを以下のように再帰的に定義する。:
1. n=0ならば、$n=()である。
2. n=1ならば、$n=(1)である。
3. n=ωならば、$n=(1,2)である。
4. 1~3のどれも当てはまらない時は、$n=$(n-1)*(1)

ここ以降ではλは変わる。

順序
X,Y∈Tに対し、2項関係X<Yを以下のように再帰的に定義する。:
1. もしX=()ならば、X<YはY≠()と同値である。
2. ここで、X∈PTとする。
2-1. もしY=()ならば、X<Yは偽である。
2-2. ここでY∈PTとする。
2-2-1. もしth(X,n)≠th(Y,n)を満たすn≦λが存在するならば、そのようなnのうち最小のものをn'とするとX<Yはth(X,n')<th(Y,n')と同値である。
2-2-2. そうでないならば、X<Yは偽である。
2-3. もしY=Y_1*Y_2を満たすY_1∈PTとY_2∈ATが存在するならば、X<YはX<Y_1またはX=Y_1と同値である。
3. ここでX=X_1*X_2を満たすX_1∈PTとX_2∈ATが存在するとする。
3-1. もしY=()ならば、X<Yは偽である。
3-2. もしY∈PTならば、X<YはX_1<Yと同値である。
3-3. ここでY=Y_1*Y_2を満たすY_1∈PTとY_2∈ATが存在するとする。
3-3-1. もしX_1=Y_1ならば、X<YはX_2<Y_2と同値である。
3-3-2. もしX_1≠Y_1ならば、X<YはX_1<Y_1と同値である。

共終数共終数
全域(のはず)再帰的写像
dom:T→T
を以下のように再帰的に定義する。:
dom(X)と表記する。
1. もしX=()ならば、dom(X)=()である。
2. ここでX∈PTとする。
2-1. ここでdom(th(X,n))≠()となるような自然数n≦λが存在したとする。そのようなnの中で最大のものをn_0とする。
2-1-1. もしn_0≠λかつdom(th(X,n_0))=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-2. n_0=λかつdom(th(X,n_0))>$ωでないならば、dom(X)=$ωである。
2-1-3. ここでdom(th(X,n_0))≠$1とする。
2-1-3-1. dom(th(X,n_0))<Xならば、dom(X)=dom(th(X,n_0))である。
2-1-3-2. そうでないならば、dom(X)=$ωである。
2-2. dom(th(X,n))≠()となるような自然数n≦λが存在しないならば、dom(X)=Xである。
3. もしX=X_1*X_2*...*X_mを満たすX_1∈PT X_2,...,X_m∈AT (2≦m<∞)が存在するならば、dom(X)=dom(X_m)である。


基本列
全域再帰的写像
expand:T^2→T
を以下のように再帰的に定義する。:
expand(X,Y)と表記する。
1. もしX=()ならば、expand(X,Y)=()である。
2. ここでX=X=(x)*{x+λ}*…*{x+1}となる({x+λ},…,{x+1})∈T^λが一意に定まるとする。
2-1. もしdom(th(X,n))≠()となるような正の整数n≦λが存在しないならば、expand(X,Y)=()である。
2-2. そうでないならば、そのようなnの中で最大のものをn_0とする。
2-2-1. ここでdom(th(X,n_0))=$1とする。
2-2-1-1. ここでn_0=λとする。
2-2-1-1-1. もしY=$k (1≦k<∞)ならば、expand(X,Y)=X=(x)*expand({x+λ},())*…*{x+1}*…*(x)*expand({x+λ},())*…*{x+1} ((x)*expand({x+λ},())*…*{x+1}がk個)である。
2-2-1-1-2. そうでないならば、expand(X,Y)=()である。
2-2-1-2. n_0<λならば、expand(X,Y)=Yである。
2-2-2. もしn_0=λかつdom(th(X,n_0))=$ωならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*…*expand({x+1},Y)である。
2-2-3. ここでdom(th(X,n_0))≠(),$1とする。
2-2-3-1. もしdom(th(X,n_0))<Xならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*…*expand({x+n_0},Y)*…*{x+1}である。
2-2-3-2. そうでないならば、dom(th(X,n_0))=(y)*{y+λ}*…*{y+2}*{y+1} ({y+λ},…,{y+2},{y+1}∈T)とおく。ここで、th(dom(th(X,n_0)),i)≠()となるiのうち最も大きいものをi'とおく。
2-2-3-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつth(expand(X,expand(Y,())),n_0)=ΓとなるΓ∈Tが一意に存在するならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ},...,expand(X_{n_0},(y)*{y+λ}*...*expand({y+i'},())*Γ*()*...*())*...*{x+1} (0がλ-(i'+1)個)である。
2-2-3-2-2. そうでないならば、expand(X,Y)=(x)*{x+λ}*...*expand({x+n_0},(y)*{y+λ}*...*expand({y+i'},())*()*...*())*...*{x+1}(()がλ-i'個)である。
3. ここでX=X_1*X_2を満たすX_1∈T、X_2∈AT が存在するとする。
3-1. もしexpand(X_2,Y)≠()ならばexpand(X,Y)=X_1*expand(X_2,Y)である。
3-2. もしexpand(X_2,Y)=()ならばexpand(X,Y)=X_1である。

限界関数
全域再帰的写像
δ:N\{0}→T
を以下のように定義する。
δ(n)のように表記する。
1. δ(n)=(1,2,n)である。

意味もない標準形
数列系表記だが意味もなくOT⊂Tを以下のように再帰的に定義する。:
1. いかなるn∈N\{0}に対しても、δ(n)∈OTである。
2. いかなるs∈OTとn∈N\{0}に対しても、expand(s,$n)∈OTである。
OTの元だとたぶん停止することを保証できるよ。停止するかどうかは知らないけどね。

関数
計算可能全域関数
NGseqω:T×N→N
を以下のように再帰的に定義する。
NGseqω(s,n)のように表記する。
1. s=()ならば、NGseqω(s,n)=nである。
2. s≠()ならば、NGseqω(s,n)=NGseqω(expand(s,$n),n+1)

F(i):=NGseqω(δ(i),i)

命名
「値：名前」と書きます。意味は「値を名前と名付ける。」という感じ。
NGseqω((1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29),31)：二宮大翔の偽予言レベルΩ
NGseqω((1,2,777),777)：ラッキーで数
F(F(F(F(F(F(F(F(F(9)))))))))：偽G数列(レベルω)数


多変数ψとの対応写像o(s)
0とψと(と)と+と,のみからなる文字列の集合Kを、以下のように再帰的に定める:
1. 0∈Tである。
2. いかなるX_1,X_2,X_3,…,X_λ∈Tに対しても、ψ(X_1,X_2,X_3,…,X_λ)∈Tである。
3. いかなるX_1,...,X_m∈PT (2≦m<∞)に対しても、X_1+...+X_m∈Tである。
集合Kはくまくま(大嘘)多変数ψで表される表記全ての集合で、多変数ψでのTと同じである。

再帰的写像
o:OT→K
を以下のように再帰的に定義する。:
o(s)のように表記する。
1. s=()ならば、o(s):=0である。
2. s=x_1*…*x_{i+1}と表記できるならば、o(s):=o(x_1)+…+o(x_{i+1})である。
3. s=(x)*{x+λ}*…*{x+1}を満たす{x+λ},…,{x+1}∈OTが一意に存在するならば、o(s):=ψ(o({x+λ}),…,o({x+1}))である。
以上のo(s)で数列s∈OTを多変数ψ (https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Mitsuki1729/%E8%A9%A6%E4%BD%9C:%E3%81%8F%E3%81%BE%E3%81%8F%E3%81%BE(%E5%A4%A7%E5%98%98)%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%CE%A8)
に変換することにより、sが多変数ψと対応できることが多分証明できます。

https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:%E3%81%BF%E3%81%9A%E3%81%A9%E3%82%89/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%CF%88%E3%81%AB%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E3%81%99%E3%82%8BG%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5
(巨大数論の)教えはどうなってんだ教えは
というかどっちが先に生まれたんだ

108Hassiumさんがツイッターから名もなき巨大数コンテストの計算可能ノーマル部門用に投稿したコラッ弱そう数の解析用スレッドです。

↓コラッ弱そう数
https://twitter.com/1Hassium/status/1435951213632114692

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

a_nの末項は「a_{n+1}が未定義であるようなa_n」です。とのことです。

https://twitter.com/1Hassium/status/1435958330648789005

今のところ地道に計算する方法しか思いつきませんが、
この巨大数が有効とすると10^12以上になるので、地道に計算する方法だと厳しいものがありますね・・。

何か突破口が必要ですかね・・。

プログラムで無理やりぶん回すのも手ですね。私は書けませんが。

ちょっと考えてみました。
例えば、Mod(a_n,6)=1の場合、1,7,13,19,...
21*a_n-105=21(a_n-5)
であり、Mod(a_n-5,6)=2となる。このとき、a_n-5は2の倍数であるから、
21(a_n-5)=7*3*(a_n-5)は6の倍数となる。
以上より、Mod(a_n,6)=1のとき、Mod(a_{n+1},6)=0

なるほどです。
ちなみにHassiumさんに「ちなみにこの巨大数はどのくらいの大きさになる予想ですか？」と尋ねてみたところ、

(3^20478)/7を想定しています。とのことでした。

6で割った余りで分類すると
0→0,3
1→0
2→0
3→7の倍数なら42n+21型とわかるので1、そうでないなら分数になって終了
4→0,2,4
5→1,3,5
かな
3→1→0→3のループ入るようなら無限ループすると思うからどこかでめっちゃ大きい2の累乗数×3になって0→0のループででかくなるのかな

a_(n+1)-5=7/3a_n -35/3
b_n=a_n-5
b_(n+1)=7/3b_n

b_nが6の倍数になるまではこの挙動ですね

b_0=486=2×3^5
b_5=2×7^5=50421
a_5=50426

僕の解析だと
(4*3^20478)/7+4になりました

あっ

(4*3^20478)/7+4の方が正しそうですね。

>8 どのように解析されましたか？

a_k＝3^n*7^t　のとき　a_(3n+k+4)＝3^(4n+6)*7^(t-1)　となることが示せます
それと　a_7＝3^3*7^6　となります
上の二つから解析しました

>11 なるほど・・。
ということはとりあえずノーマル部門有効ということで大丈夫ですかね？

>12 大丈夫ですね。

>13　了解です！

コラッツ予想みたいな名前だなぁ

n=20471 で末項となり, a_n は整数部 9771桁の数値です.
>8 ブルームーンさんの解析通り a_n=(4*3^20478)/7+4 となりました.


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4923825214315077786821929789570036494580328508217939525746104644511260374566897500991785753661648833972090594702511546221486478249348742887906276979535751900958442239365686937079289732811335933974126468089607844328721215917588040166987603675021417952484673080806878494311677001320415699590750637330643873483553783098606308570502166352225990627596381512234867294431519353996212745353810167351483791734902716352925692355306389757918470036192656213641970206462117230704540955930904373592431967084573186428654941068853041474610697409914432660658577291831316493426850233571881277702411148623395608817850977101665338900807321998927449731263203958733735660293231219525738893143886674644002695440942964440589401842160040987127026498295614065320099598956788241007079292050891965959921928578118928226499651267816648179699977872248639416735211806682362643850457971087211715727594810210494672153855826720725628019065938866460496195713116755681171958394548409699678864773943051686612586972177006634341767392495697241597568509263920485625405310235049767587187934454648091040543406196466641868313759727077961374217809544493689629728730288894322840327237260903574259475218472346747484220839332441423701828706905415187023352904793025943675930628564466535494767845543440534080401429232799520022972941028365551813274873827277375727783987443196008954914163398741939089289528727153435826731438685582223382329915703851517998763212692514754017221827696063146072823997783799020171108294962751429700160738657806828311952839836085415383329526436771334992123828987458861685992303164194458188150168593944003942600867788165880278186380035819160337727367188365618791689072993751831912368568710885189207571113526560771781989658055674274462308467464847564288247065408648942259994410563492823851705844278498515471611584526118389328289597290001670680405291126807594840528641447591995463713164748011717930797408574131298201643799655150155006372676830567733596032549198729108090507195621189645059079986868426578483057742993458846550746968025842670403629268476383536310050280604251262271207201421895886789878537378429963798898527138334801303246684181830165038833062937537571341003267622066854965713866919621243965998101953528284212111784841937969867943480885033010073668266053615400669195154642792819606115099670727488661343105976920082014311159084720250209094979716360241989328303943558782464787073522010270385915075600830896700013051658949335525990269487391061857172167009259837526683053141604716130903886140840174349097051125164312621966903508985573890546291456830032698024746458557460899953336156870218151253041232302378891095367684550579460719655425010365705440045415776283300249016537444191873469190771778742466141660709576353815546410172658173893748344444694472497680815600546501208497529776479644831965827084022513600893357171343376799327273776585622514051865869521554855295235733457724832670392866723228257580155706020169624188985177626530060656681877014056762796758562091609862464434724016501156934205854856682018224570689291377504809246485076319034210628149086034945829040105819346711305638075364816841265329086055688324084732992475505286919552393996733011737763702130388889214442125619524585283929142447559225694562446798426557510838124931590350299703833166464450358447174133112910412755626115071375233939528586820658493846670569580047665397888996574127153242535343718057814856254406849106653936980622463647092239302881376716213784892806747516588873439622024498266211782820440555134500630728887872622172079170774603907024750333707648134954331709761050625093139797332218824637493790717419001978415005595128249141537083830044117683650065087166816591449536943971517281059011932895530317585122224890101803258742522818770797949663774529826519257787954025693512727109362175755125468097925169032139509290352707332618335842928576370809540029710537995176999935584176819424022656182465431295436188242088876761760471541928768023322885300976501479530851187175053865310063791519528787650260090226567345646812907328402358224309473226594840563884128147121519464189787982006218427717342490313216479606103355927095229232966027398208199971481839904370929024336488561629147696702326874610452205778150992117643466494915671565515430768955409686608312458020251347387274723527385558117816479549044944881390417630620822989592569242272710532528965686319447008861151040599219103824925043822710082111096710213031551159287723644607791586103634718588542460188513279960295505646385502520672478939668701609810278365711270858466395801590155778072655147087822825772506255144796784309724816177448052928560192244353064841581507271414246332078318080741622110187632967284148101503858184401992248487828332834700054921176197832938456582712837822409272011942049484628820549910435968517028170625473391790050122102787704790826364955592740.571428571428…

これ何桁？
数えたけどとりあえず横幅95桁　縦幅110桁
だから…95*1100＝10450桁⁉︎しかも…ってついてる
（4*3＾20,478）÷7＋4＝3＾20478*4÷7＋4か…

まず巨大数をいろんな表記とか使わず間違ってるよなぁ

■こちらでは、順序数全般についての情報や話題を募集したいと思います。

参考：
https://math.wikia.org/ja/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0

巨大数wikiの極限順序数の一覧です。
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
ロシア語で書かれたFGHなどの比較です。
http://lihachevss.ru/fghvsarray.html

チェーン表記でω→ω→ω→ωみたいに、本来定義されない演算をωにやるのって、
ωの部分を変数xとしたときの増大率を緩増加関数で評価したときの順序数と捉えて良いんですかね？
例えば上の例でいうと、x→x→x→xを緩増加関数で評価したときの順序数ということなんですかね？

>3　定義によって変わってくるので定義による・・という感じになってしまうのではないかと思いますが
急増加関数で使うイメージとしてはそんな感じでいいのではないかと思います。

厳密な解析とか定義とかでいうとどうも諸説ありっぽいですが・・。

定義による、確かにそうですね
ありがとうございます！

こんな感じのどう？
　2↓ ＝2↑↑2＝2＾2＾2＾2＾2
　3↓ ＝3↑↑3＝3＾3＾3＾3＾3＾3＾3＾3＾3＾3＾3＾3
　4↓ ＝4↑↑4＝4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4＾4
つまりn↓＝n↑↑n

　
　2↓2＝2↑↑↑↑2
　3↓3＝3↑↑↑↑↑↑↑↑↑3
　4↓4＝4↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑4
つまり
　n↓nはn＾2個の↑ということ　ちなみにルールは　x↓y の場合x＝yでなければいけない。ぐらいかな

>6　なかなか面白い発想だと思います♪

6を改造するならば
単純ですがω↓ωって感じですかね？

でもΩ（絶対無限）には及ばないんですが

3→3→3→3＞g＾64（4）ってホントか⁉︎

3→3＝3↑3だよね？
3→3→3＝3↑↑↑3なのか？
3→3→3→3＝3↑＾3↑↑3 3で合ってる？ 3↑↑3＝7625597484987

ちょっと勉強してきました
3→3→3→3
＝3→3→（3→3→2→3）→2
＝3→3→（3→3→（3→3→1→3）1
＝3→3→（3→3→（3→3））
＝3→3→（3↑＾（3↑＾3↑3 3 ）3） 3
＝3→3→（3↑＾（3↑＾27 3）3）3
もう無理です脳がﾀﾋぬ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

12の続き
3→3→（3↑＾3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑3 3）3
アレ？モウケイサンフカノウデハ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
ガンバッダノニ

13は間違えてました
紙で計算しました。

3→3→3→3＝3↑＾（3↑＾（（3↑＾27）−1）3）3

3→3→3→3と3↓3↓3↓3を比べると　　　　　　　　　　　　　　　累乗の終始に「、」をつけています。

3↓3↓3↓3＝3↑＾、（3↑↑＾（3↑＾3↑↑＾（3↑＾3↑↑3 3）3↑＾3↑↑3 3））
、（3↑＾、（3↑↑（3↑＾3↑↑3 3））、（3↑＾3↑↑3 3）

3→3→3→3＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜3↓3↓3↓3でした。

14の訂正
3→3→3→3＝3↑＾（3↑＾（（3↑＾27 3）−1）3）3
　　　　　　　　　　　　　　　　　ここ↑の3が抜けちゃってました。

14も15も間違えてました。
3→3→3→3＝
3→3→（3→3→（3→3→・・・（3→3））））・・・）））））＝3↑＾3↑＾3↑＾・・・3↑＾27 3 3 3・・・3 3 3
ーーーーーーーーーーーーーーーー
（3↑＾27 3）−1回⇧

こういう感じだよね？

■こちらでは、管理人から、お知らせなどを記載していこうと思います。

掲示板の目次
http://googology.seesaa.net/article/466157619.html?1559451660

スレッドの表示方式を2ch方式に変更しました！

『みんなで作ろう巨大数2019』というイベントを7月21日より開催予定です。
よかったら気軽にご参加ください。

■参考：
みんなで作ろう巨大数2019　トップページ
http://googology.seesaa.net/article/467914451.html

みんなで作ろう巨大数2019のエントリー受付開始いたしました。

レスの少ないスレを削除しました！

ラブドールスレはなんで消さないんですか？

明らかに場違いなキガス

>小5の名無しさん
ご指摘ありがとうございます！
ちょっと管理さぼっておりました・・・(;´∀｀)
ただいま削除しておきました！

こちらはブルームーンさんが自作巨大数投稿所から名もなき巨大数コンテストの無制限部門にエントリーしたダークムーン数の解析用スレッドです。

↓自作巨大数投稿所
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269452

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234


↓ 投稿内容はこちら

137：ブルームーン : 2021/08/09 (Mon) 21:35:16
計算不可能関数を作ってみました

以下、Ｚ、Ｎをそれぞれ整数、自然数の集合として
Ｑ_ｎ、Ｒ_ｎをそれぞれｎ以下の自然数の集合、(6ｎ)＾(3ｎ)以下の自然数の集合とする

写像Ｚ→｛ｂ，０，１｝のうち出力値が０または１となるような入力値が高々有限個であるような写像の集合をＴとする

写像{ｂ、０，１}×Ｑ_n→｛ｂ、０，１｝×Ｑ_ｎ×｛Ｌ，Ｒ｝全体の集合をＤ_ｎとする

写像Ａ_ｎ：｛ｂ、０，１｝×Ｑ_ｎ×｛Ｌ，Ｒ｝→Ｎを次のように定義する
　Ａ_ｎ(ｂ、ｋ、Ｌ)＝ｋ　　　　Ａ_ｎ(ｂ、ｋ、Ｒ)＝ｎ+ｋ　　　Ａ_ｎ(０，ｋ、Ｌ)＝2ｎ+ｋ
　Ａ_ｎ(０，ｋ、Ｒ)＝3ｎ+ｋ　　Ａ_ｎ(１，ｋ、Ｌ)＝4ｎ+ｋ　　Ａ_ｎ(１，ｋ、Ｒ)＝5ｎ+ｋ
138：ブルームーン : 2021/08/09 (Mon) 22:10:00
写像Ｐ_ｎ：Ｄ_ｎ→Ｒ_ｎを次のように定義する
Ｐ_ｎ(ｄ)＝1+Σ[ｋ＝1，3ｎ](ａ_ｋ-1)*(6ｎ)＾(ｋ-1)　
　ただしＡ_ｎ(ｄ(ｂ、ｋ))＝ａ_ｋ　　Ａ_ｎ(ｄ(0、ｋ))＝ａ_(ｎ+ｋ)　　Ａ_ｎ(ｄ(1，ｋ))＝ａ_(ｎ+2ｋ)

写像Ｃ_(ｎ，ｍ)：Ｔ×Ｑ_ｎ×Ｚ→Ｔ×Ｑ_ｎ×Ｚを次のように定義する(ただしｍはＲ_ｎの要素とする)
　Ｃ_(ｎ．ｍ)(ｔ、ｇ、ｚ)＝(ｔ＠、ｑ＠、ｚ＠)
　ここでｔ＠はｋ＝ｚのときｔ＠(ｋ)＝s1、ｋ≠ｚのときｔ＠(ｋ)＝ｔ(ｋ)で定義される写像とする
　またｑ＠＝s2とする
　またｚ＠はs3＝Ｒのときｚ+1、s3＝Ｌのときｚ-１と等しいとする
　ただしs1、s2、s3は、Ｐ_ｎの逆関数をＰ２_ｎとしたとき
　Ｐ２_ｎ(ｍ)(ｔ(ｚ)、ｑ)＝(s1、s2、s3)を満たすとする
139：ブルームーン : 2021/08/09 (Mon) 22:36:27
集合{０、１}の文字列集合をＪとして、＜を、０＜１とした時のＪ上の辞書式順序とする
任意のＪの要素ｋに対し、Ｔの要素ｔ_ｋを次のように定義する
　ｋの長さをｌとしてｋのｈ文字目をｋ_ｈとしたとき、
　ｚが1以上ｌ以下の整数ならばｔ_ｋ(ｚ)＝ｋ_ｚ
　そうでないときｔ_ｋ(ｚ)＝ｂ

Ｊの部分集合ＰＴ_(ｎ、ｍ)を次のように定義する
　任意のＪの要素ｋに対してＣ_(ｎ、ｍ)＾ａ(ｔ_ｋ、１、０)の第二成分がｎとなる自然数ａが存在するならば、
　　ｐがＰＴ_(ｎ、ｍ)の要素であることと、Ｃ_(ｎ、ｍ)＾ａ(ｔ_ｐ、１、０)の第二成分がｎとなるような最小の自然数ａにおける
　　Ｃ_(ｎ、ｍ)^ａ(ｔ_ｐ、１、０)の第一成分をs1、第三成分をs3としたときにs1(s3)＝ｂであることは同値である
　Ｃ_(ｎ、ｍ)＾ａ(ｔ_ｋ、１、０)の第二成分がｎとなるようなａが存在しないＪの要素ｋが存在するならばＰＴ_(ｎ、ｍ)は空集合である
　　
140：ブルームーン : 2021/08/09 (Mon) 22:52:57
Ｊの部分集合ＯＴ_(ｎ、ｍ)を次のように定める
　Ｐ_(ｎ、ｍ)上で＜が整列順序となっているならばＯＴ_(ｎ、ｍ)＝Ｐ_(ｎ、ｍ)
　そうでないならばＯＴ_(ｎ、ｍ)は空集合とする

Ｊの部分集合ＬＴ_(ｎ、ｍ)をつぎのように定める
　ｋがＬＴ_(ｎ，ｍ)の要素であることとｋ＝111…(1がｍ+Σ[1、ｎ-1](6ｎ)＾(3ｎ)個)…110ｐとなるＯＴ_(ｎ、ｍ)の要素ｐが存在することは同値である

集合ＯＴ_ｎを次のように定める
　ｋがＯＴ_ｎの要素であることとｋがＬＴ_(ｎ、ｍ)となるようなＲ_ｎの要素ｍが存在することは同値である
集合ＯＴを次のように定める
ｋがＯＴの要素であることとｋがＯＴ_ｎの要素となるような自然数ｎが存在することは同値である
　
143：ブルームーン : 2021/08/10 (Tue) 21:09:40
昨日の続きです
集合ＣＴをＯＴと{０}の和集合とする
写像ｇ：ＯＴ×Ｎ→ＣＴを次のように定義する
　ｇ(ｋ，ａ)＝ｙとする
　ただしｙは次の一、ニ、三を満たすものとする
　　一、ｙの長さはａ以下である
　　ニ、ｙ＜ｋである
　　三、任意の、長さがａ以下でありかつｙ＠＜ｋを満たすｙ＠についてｙ≠ｙ＠ならばｙ＠＜ｙとする
写像ｆ：ＣＴ×Ｎ→Ｎを次のように定義する
　　ｆ(ｋ、ａ)＝ａ　(ｋ＝{０}のとき)
　　ｆ(ｋ、ａ)＝ｆ(ｇ(ｋ、ａ)、3^a)　(ｋ≠{０}のとき)
144：ブルームーン : 2021/08/10 (Tue) 21:43:00
写像Λ：Ｎ→ＯＴを次のように定義する
　Λ(ａ)＝ｙとする
　ただしｙは次の一、ニを満たす
　　一、ｙはａ文字以下である
　　ニ、任意のａ文字以下であるｙ＠についてｙ＠≠ｙならばｙ＠＜ｙである

写像ＤＭ_１：Ｎ→Ｎを次のように定義する
　ＤＭ_１(ａ)＝ｆ(Λ(ａ)、ａ)
　
このときＤＭ_１＾15(15)をダークムーン数とする

145：ブルームーン : 2021/08/10 (Tue) 22:47:11
以上です…
誰か解析してくれないでしょうか…
146：abata : 2021/08/11 (Wed) 10:45:14
>145　ちょっと勉強してきます！
147：ブルームーン : 2021/08/11 (Wed) 16:17:55
>144 間違いがあったので訂正しておきます
誤　写像Λ：Ｎ→ＯＴを次のように定義する
正　写像Λ：Ｎ→ＣＴを次のように定義する

148：abata : 2021/08/11 (Wed) 21:13:26
>147 ｄ(ｂ、ｋ)やｄ(０、ｋ)、ｄ(１、ｋ)などはどう求めますか？

149：ブルームーン : 2021/08/11 (Wed) 21:17:16
>143　再び訂正です
誤　ｆ(ｋ、ａ)＝ａ　(ｋ＝{０}のとき)
　　ｆ(ｋ、ａ)＝ｆ(ｇ(ｋ、ａ)、3＾ａ)　(ｋ≠{０}のとき)
正　ｆ(ｋ、ａ)＝3＾ａ　(ｋ＝０のとき)
　　ｆ(ｋ、ａ)＝ｆ(ｇ(ｋ、ａ)、３＾ａ)　(ｋ≠０のとき)
150：ブルームーン : 2021/08/11 (Wed) 21:25:01
>1４８
dはＤ_ｎの要素で、これは写像であるためｄが変わるとｄ(ｂ、ｋ)などの値も変化します
あと実はＤ_ｎはチューリングマシンの遷移規則で、Ａ_ｎとＰ_ｎでこのＤ_ｎの要素に
1から(６ｎ)＾(３ｎ)までの番号を順番に振っているだけのものです

200：ブルームーン : 2021/09/22 (Wed) 22:44:31
そういえばこれも投稿できることに気づきましたので投稿します。

>144のダークムーン数を名もなき巨大数コンテストの無制限部門への投稿とする。

写像？ナンすかｼｬｿﾞｰって

■こちらでは、巨大数に関する雑談などを募集したいと思います。

アバタさん最近いませんね。Twitterも更新されてないし....
なにかあったんでしょうか。

質問です、f^f(x)ってどういう意味ですか？

>39
巨大数界隈で見かける使い方としては
f^2(y)=f(f(y))
f^3(y)=f(f(f(y)))
f^4(y)=f(f(f(f(y))))
といった感じで関数の反復回数を冪部分に書いたりしていることがよくありますね。
f^f(x)は、厳密にはf^f(x)(y)みたいな感じじゃありませんか？
もしそうなら、fをyに対してf(x)回反復合成したものという感じで使われている可能性が高いと思います。
(とはいえ定義は使用者次第なので出展が不明だと推測しかできませんが)

ニコ動の旧バード数の解説にありました。
文字で書かれたものをゆっくり読まないと解らなかったのです
ありがとうございました。

>40
^の数増やすのアリですか？

n^! （ｎの階冪）をテトレーション以上に拡張したものはありますか？

アバタさんのTwitterアカウント消えてる...

ありましたｎ！ｍと書くようですね
ついでと言っては何ですが
Ψ↑^ΨΨ＆Ψはどれぐらいの大きさですか？

>34
アダルトサイトへの誘導多すぎ

>45
Ψってなんですか?

＞４７
ω↑^ωωと聞きました。

>48
それってφ(ω,0)じゃないですか？

＞４９
あ、Φ（０，２）がζになるやつだ
*****↑これしか分からん

>46 だいぶ放置していてすみません・・。
スパム系のスレ削除しました！

復活した？のかな？

>52　一応復活です！

さすがにスレが何十個もあると多すぎると思うので少し減らしませんか？

>54 そうですね・・。
どのスレを残すのがいいと思いますか？

とりあえずレスが1つだけのものは消しますか？

>56　一部を除いてレスが少ないスレを削除しました！

今度ここて巨大数大会したいなあ

>58 ぜひ！
人集めないとですね・・。

>59
開催期間とかはどうしましょうか

>60 ルールによると思いますが、夏休みみたいに学生さんが参加しやすい時期か、長めに設定するとよさそうですかね・・。

あと東方巨大数の閉会式が9/9だそうなので、そのあたりに差し込むと大会熱を引き継げるかもですね。

投稿期間が9/9から9/23の二週間くらいでどうでしょうか
あと僕はツイッターとかやってないのでabataさんが取り仕切ってくれると助かります

>63 一度アカウント停止になったのもありフォロワーさん少ないのでうまく参加者さん募れるか心配ですが、
できるだけの協力はします！

あと審査員はどうしましょうか

>65 集めるの難しそうですよね・・。
１つの案としては、巨大数投稿部門と審査部門に分けて、参加者さんが審査する構造ですかね。

前回私が主催した時はそのシステムでやりました。

ただ、一切解析されずに終わる投稿も大量に出てしまうというデメリットもあります。

一つの案ですが…
まず一人の投稿できる数を2つくらいに制限してはどうでしょうか
あと参加者と審査員を兼ねることが出来るようにすればどうかな
あとぼくもできるだけやりますよ

「一番大きな投稿を審査した審査員が優勝」「一番多くの投稿を審査した審査員が優勝」みたいに審査員が戦うようにするのか、審査員みんなで協議して審査するようにするのか……
審査員を予め決めておくのか、誰でも勝手に審査していいようにするのか……

この掲示板らしさを出すなら、投稿ごとにスレッドを立てて解析するのが良いと思うので、「みんなで協議して審査」「誰でも審査してよい」になると思いましたが、何が正解かわかりません

>69
それで行きましょうか

現段階での構想
　とりあえず投稿部門は３つくらいかな
　計算可能ノーマル部門(原始数列数未満くらい)と
　計算可能ハード部門(原始数列数以上の計算可能に定義された自然数)と
　計算不可能部門で

　それと投稿できる数は２つまでで、
　計算可能ノーマル部門とハード部門の両方に投稿することはできないようにしよう

詳細は未定でもはやく告知したほうが良いのでは

一応参考として、第四回東方巨大数のルールと私が以前主催したみんなで作ろう巨大数2019のルールを張っておきます。

第四回東方巨大数
https://docs.google.com/document/d/1yfrdN5ewHQBjYZDIM16JNc84UbPyEf7Mpo8xFYVOr1o
みんなで作ろう巨大数2019
http://googology.seesaa.net/article/467914451.html

>58 より「今度ここて巨大数大会したいなあ」がはじまりなので、この掲示板でやりたい

>73　掲示板限定の場合はなりすまし防止をどうしましょうかね・・？

>74
あぅぁ、一人が複数人のふりをするのは考えていたけど、そっち忘れてました……

どうしょうもない感じなので、掲示板のみでいくのは撤回します

東方巨大数の直後にやるなら、
・東方巨大数が東方要素を必要とし始めたこと
・東方巨大数が投稿数に制限をつけたこと
を踏まえると、みんなで作ろう巨大数2019のルールでうまく噛み合っている気がした
気がしただけです

>77 大会として、投稿数の制限などを作るとしたら、掲示板からの投稿はいろいろ問題点ありますよね・・。

掲示板でやる強みを入れるとしたら、大会というよりも匿名を活かしてみんなで作っていく感じか、
みんなで探索していく感じがいいかもしれないですね。

匿名掲示板の5chでふぃっしゅ数が盛り上がった時もルールをみんなで決めていって、
みんなで巨大数を探索してみんなで解析していたのがよかった気がします。

ツイッターが使える人はそっからの投稿もありにして、
できない人は掲示板に書き込むでどうでしょうか

>79 そうですね。それでいいと思います。

今のところの案をまとめると、

・投稿期間が9/9から9/23の二週間
・仕切りはabataが行う
・一人の投稿できる数を2つくらいに制限
・参加者と審査員を兼ねることが出来る
・投稿ごとにスレッドを立てて解析する
・「みんなで協議して審査」「誰でも審査してよい」
・部門は

　計算可能ノーマル部門(原始数列数未満くらい)
　計算可能ハード部門(原始数列数以上の計算可能に定義された自然数)
　計算不可能部門

　の3つで、投稿できる数は２つまで
　計算可能ノーマル部門とハード部門の両方に投稿することはできない

・投稿はTwitterからもOK

という感じですかね。

なりすましとか1人で二役とかはある程度善意に任せてやむなし案件でてきたら
管理者権限で状況に合わせて対応って感じで・・。

投稿された巨大数のうち解析されずにそのまま終わるのは出来るだけ少なくしたいので
審査期間は11月末までにしてはどうでしょうか

>81 そうですね。それでいきましょう。
後ほど、私なりに一度暫定ルールをドキュメントにまとめてみます。

突然ですいませんがバシク行列部門を入れたくなりました
内容はＢＭ４の停止性証明で、一番大きなところまで証明できた人が優勝です
例えばＡさんはペア数列の停止性を証明して、Ｂさんは(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)までの停止性を証明出来たら
Ｂさんの勝ちです
バシク行列は停止性証明がされる気配がないのでこれがきっかけになればと思いました

>84なるほどです！
とりあえずそれも盛り込んでみますね。

暫定ルールver.1を作ってみました！
正式な審査員がいないという事もあり、投票制にしてみました。

あと、計算可能ノーマルは上限が見えてしまうので、大きさではなく面白さにしてみました。

暫定ルールver1
https://docs.google.com/document/d/1seNqd88KmigZgruCGg_GuUsOTmtAVrtY0dSx_to1sP4/

>85
ありがとうございます！
ノーマル部門は面白さでというのはいい考えですね
バシク行列の停止性証明部門は、巨大数の投稿が2つまでという制限とはまた別に投稿できるようにしたいです
それとハード部門と無制限部門は投票で優勝者を決めるのは最終手段として、出来るだけ大きさを解析して優勝者を決めたいです

>86　停止性証明部門は別途という文言を加えました。
あと、『定義の修正は、投票期間前であればいつでも可能です。修正した場合は、解析スレッドに修正内容を明記してください。』という文言を加えました。

ハードや無制限の優勝決定方法も投票制にしたのは、ルール上解析をみんなで自由に行う感じになるので、最終的に意見が割れたり解析の真偽を私が確かめる必要になると思うのですが、ハードと無制限は私の度量を超える可能性が高いのと、
ハードと無制限に関しては（特に無制限は）流派によって分かれるところがあると思うので民意を尊重した投票制がいいかなと考えました。

とはいえ、結果的にはブルームーンさんなど中核的に解析する方の解析結果や暫定順位の議論の結果が中心に優勝が決まる感じになるかと思っています。

東方巨大数４と同じようなルールをいくつかつけましょう
1　プログラミング言語禁止
2　すでに今までに定義されている巨大数をそのまま、もしくはほとんどそのまま用いるのは禁止
3　定義に数学上の未解決問題が絡むものは禁止
　　(例えば最大の双子素数のペアのうち大きい方を○○数とする、などは双子素数予想が
　　　からんでいるのでダメということ)
あ、あと投稿は日本語っていうルールもつけてほしいです(英語読めないので)

プログラミング禁止のルールって意外と曖昧なんですよね
僕は「文字列”597-97(69\@8#77”の各文字に対応したコマンドを、はじめの文字から実行する。」と言って文字とコマンドの対応を書いて投稿したら有効だったことがあるんですけど、これbrainfxxkになり得ますし、複雑にすればC言語も……

東巨の人が「プログラミング言語禁止のルールの理由は、自分で文章を使って定義してほしいから」みたいなことを言ってた気がするので、プログラミング言語の仕様（の巨大数で使う部分）を文章で書けるならokの基準にしたい

>90
そうですね。プログラミング言語については任せます。

>88-91 そうですね・・。
１，２，３ともに解釈が揺れるところかなと思います。
先端科学はそういう解釈の穴をつくところにあるのかなとも思うのでなるべく制限は設けず、

完全NGにはせずに、１、３と日本語については解析されにくいという文言と
２については投票者の選択する最強候補からはずれやすいという文言を注意事項として付け加えたいと思います。

とりあえず一旦、下記の文言を追記しておきました。

・注意事項に『プログラミング言語、外国語、未解決問題、特定の専門的な知識を必要とするものなどを含む定義についても投稿は可能ですが、解析者、投票者が理解できない場合、投票候補からはずれる可能性が上がるため、想定する参加者の理解しやすいものを予想し、心がけることを推奨します。』を追記しました。

・注意事項に『すでに定義されている巨大数をそのままもしくはほとんどそのまま用いた定義を投稿する事も可能ですが、投票者が想定する『自作巨大数』という観点からはずれ投票候補から外れる可能性が上がるため推奨しません。』を追記しました。

・部門の注意書きに『※投票は投票前に投票候補を募るスレッドを立てて列挙された候補の中から投票を行います。』を追記しました。

一部門につき一個の投票なのか、数種類の投稿に投票していいのか、明記されていない気がします

>94
自分が投稿した部門にそれぞれ1票ずつというのを想定しています
また、特にノーマル部門においては自分の作成した巨大数には投票してはいけないようにしようと思っています
それとハード部門及び無制限部門においては投票時点において
大きさが1位である可能性が残っているものの中で投票という形になるかと思います

>95
>投票時点において大きさが1位である可能性が残っているものの中で投票

一度投票したものが後の審査により1位ではないとわかった場合は、それはそれで良いとしますか？

>96
はい。投票によって優勝した数がその後大きさが1位でないと判明してもそれによって優勝を変更することはありません

>95　投票はFC2投票で行うようにしようかと思っていたのですが、ブルームーンさんはどのような投票方法を考えていますか？

>98
ＦＣ２投票でなりすましをすることは簡単に出来てしまうものですか？

>99　1人につき特定期間内に何回まで投稿できるか設定できる感じです。

投票するのに何かに登録する必要がない分1人で複数人のふりをすることは比較的容易です。
誰が投票したかがわからないので、自分の作成した巨大数には投票してはいけないというような制限する方法はちょっと思いつきません。

>100
ではツイッターから巨大数を投稿した人はツイッターから、掲示板から投稿した人はＦＣ２投票にして、
あとで集計するというのはどうでしょうか

>101　ツイッターでの投票はどのような形式を考えていますか？

>102
僕はツイッターについてはよくわからないのでツイッターでの投票形式はお任せします

>103　そうですね・・。
パッと思いつく範囲ですと、

1 投票機能を使用する（1度に4択まで、誰が投票したかわからない、投票のハードルは低い）
2 ハッシュタグをつけてツイートする（誰が投票したかわかる、投票のハードルは高い、集計が大変）
3 候補をツイートしていいねをつけてもらう（誰が投票したかわかる、投票のハードルは低め、他の方法よりもツイート順で差が出やすい）

という感じですかね・・。

個人的にはせっかくの掲示板でのコンテストなので、匿名勢が不利にならないようにFC2のみの方がシンプルな気がしますが、Twitterの投票もあった方が宣伝効果ありますし悩みどころですね。

ぱっと思いつく範囲だと、
4:投票専用のツイートを用意し、投票先をリプしてもらう。（誰の投票かわかる、ハードル高い、集計は案2よりは楽そう）

あらかじめエントリーに番号をふって、数字だけリプしたら良いようにするとか、、

投票方法とは関係ありませんがいくつか修正を
1　計算可能の部門において「計算可能関数によって定義される」を、
　「計算可能な方法によって定義される」に変更するべきです
2　巨大数はＺＦＣ内で定義されるようにしましょう
3　停止性証明部門は、公理はＺＦＣに限定しないが矛盾していたりω矛盾していることが明らか、もしくは極めて疑わしい
　 公理系が使用された証明は無効と事がある、という文面を加えましょう

>106に少し追加
停止性証明部門で例えば「ＺＦＣ+(ＢＭ４は停止する)」みたいな公理系を使ってＢＭ４の停止性を証明しても意味がないので
そういうのも無効にしたいと思います

>106　
自作の計算可能な手段によって定義されると予想される自作巨大数の定義を投稿し
『自作の計算可能な手段によって定義されていると予想され、この中で最も大きいと予想される自作巨大数はどれだと思いますか？』
という投票で1位を目指す部門

に書き換えました！

2，3に関して、私としてはルールとして無効にするのではなく、基準は投票や解析する人毎の判断に任せて、最終候補や各参加者さん毎の基準で投票対象にならないという形が望ましいかなと考えています。（私自身の裁定能力に自信がないため）
代替えとしてブルームーンさん（及び希望者）の審査基準を別途記載するスレッドを作り、ルールに審査基準の例としてリンクを記載するのはどうでしょうか？

>107
　106の2，3に違反する人は恐らくそのルールの意味するところを分かったうえでしている
(かなり意図的に破ろうとしないとこのルールを破ることはできない)ので、
このルールに関しては、分からない人はあまり気にしなくてよいと付け加えたうえで、
悪意ある人を規制するためにも付け加えるべきだと思います

　それと他人が既に定義した巨大数をそのまま、もしくはほとんどそのまま使用することは立派な剽窃に当たり、
またこの大会及び大会に参加するすべての人に悪影響を及ぼすため
これについては厳しく取り締まるためにも該当する投稿を無効にするべきです
この大会をより良いものにするためにも是非お願いします

>109　悪意に対して厳しく取り締まるのであれば、１つ１つ制限を作るよりも、今のルールで悪意そのものを排除する方向の方がいいと思います。
こういうルールは増やせば増やすほど悪意ある人は利用し、そうでない人を制限します。

・・・というのが私の考えですが、私発端の大会でもないので、ブルームーンさんになるべく合わせますね。

要追記・変更箇所は今のところ、

・巨大数はＺＦＣ内で定義
・停止性証明部門は、公理はＺＦＣに限定しないが矛盾していたりω矛盾していることが明らか、もしくは極めて疑わしい
　 公理系が使用された証明は無効
・停止性証明部門で例えば「ＺＦＣ+(ＢＭ４は停止する)」みたいな公理系を使ってＢＭ４の停止性を証明しても意味がないので
そういうのも無効
・他人が既に定義した巨大数をそのまま、もしくはほとんどそのまま使用すること無効

要検討箇所は
・ハードと無制限の裁定方法
・投票の方式

という感じですかね？

>110
そうですね　追記お願いします
要検討箇所もそんな感じですね

↓追記箇所に関しては、

◇無効
企画発案のブルームーンさんの裁定で以下のケースは無効となる場合があります。

・計算可能ノーマル、計算可能ハード、無制限部門では、ZFCに矛盾すると判断された場合
・「ＺＦＣ+(ＢＭ４は停止する)」のような公理でのBM4の停止性の証明のように無意味な証明と判断された場合
・矛盾やω矛盾していることが明らか、もしくは極めて疑わしいと公理系が使用された証明と判断された場合
・他人が既に定義した巨大数をそのまま、もしくはほとんどそのまま使用したと判断された場合

を注意事項の前あたりに追記

↓ハード、無制限、停止性証明部門に関しては、
『基本的にはブルームーンさんの最終裁定で1位を決定し、1位の候補が１つに定まらない時または、ブルームーンさんが何かの事情で裁定できない状況場合に投票で決定する。』

↓ノーマル部門、解析部門、またはその他の部門の1位が決定しない場合の投票に関しては、
投票に匿名投稿ができる以上自分の投稿したものに投票してはいけないというルールや自分の投稿した部門にのみ投票というルールはTwitterを使用したとしてもどちらにしても難しいと思うので、
『FC2投票の得票率で1位を決める。』

でどうでしょうか？

>112
・ＺＦＣに矛盾すると判断された場合ではなく、ＺＦＣで定義されていないと判断された場合、ですね

・あと、巨大数の定義や、停止性証明部門での証明が不完全であると判断された場合も無効となるというのを追加してください

・それと、無効判定は基本的には修正期間が終了した後に行うため、
　修正期間の終了から解析期間の終了まである程度時間が欲しいので、修正期間を11月の15日ころまでにしてくれますでしょうか

それ以外は>112の内容で良いと思います

↓ルールから以下の変更と追記を行いました！

・注意事項から『・すでに定義されている巨大数をそのままもしくはほとんどそのまま用いた定義を投稿する事も可能ですが、投票者が想定する『自作巨大数』という観点からはずれ投票候補から外れる可能性が上がるため推奨しません。』を削除しました。

・部門の『※投票は投票前に投票候補を募るスレッドを立てて並んだ候補の中から投票を行います。』を『※投票は投票前に投票候補を募るスレッドを立てて並んだ候補の中からFC2投票で投票を行います。』に変更しました

・部門の

『・計算可能ハード部門
自作の計算可能な手段によって定義されると予想される自作巨大数の定義を投稿し
『自作の計算可能な手段によって定義されていると予想され、この中で最も大きいと予想される自作巨大数はどれだと思いますか？』
という投票で1位を目指す部門
・無制限部門
自作巨大数の定義を投稿し
『この中で最も大きいと予想される自作巨大数はどれだと思いますか？』
という投票で1位を目指す部門
・数列の停止性証明部門
Y数列、バシク行列システムなど数列・行列系の派生の巨大数表記の停止性の証明を投稿し
『この中で最も大きいと予想される数列・行列系の表記の停止性の証明はどれだと思いますか？』
という投票で1位を目指す部門』

を
『・計算可能ハード部門
自作の計算可能な手段によって定義されると予想される自作巨大数の定義を投稿し
企画立案者のブルームーンさんの最終裁定で『自作の計算可能な手段によって定義されていると予想され、この中で最も大きいと予想される自作巨大数』の1位を目指す部門
※ただし、1位の候補が１つに定まらない場合や、何かの事情でブルームーンさんが裁定できない状況などの場合は投票で決定する
・無制限部門
自作巨大数の定義を投稿し
企画立案者のブルームーンさんの最終裁定で『この中で最も大きいと予想される自作巨大数』の1位を目指す部門
※ただし、1位の候補が１つに定まらない場合や何かの事情でブルームーンさんが裁定できない状況などの場合は投票で決定する
・数列の停止性証明部門
Y数列、バシク行列システムなど数列・行列系の派生の巨大数表記の停止性の証明を投稿し
企画立案者のブルームーンさんの最終裁定で『この中で最も大きいと予想される数列・行列系の表記の停止性の証明』の1位を目指す部門
※ただし、1位の候補が１つに定まらない場合や何かの事情でブルームーンさんが裁定できない状況などの場合は投票で決定する』

に変更しました。

・開催期間の『・解析・修正期間　投稿開始してから投票完了するまで』を『・修正期間2021年11月15日まで　・解析・無効判定期間　投票開始まで』に変更しました。

・新しく無効の項目として『◇無効　無効判定は基本的には修正期間が終了した後に企画発案のブルームーンさんの裁定によって行われ、以下のケースは無効となる場合があります。・計算可能ノーマル、計算可能ハード、無制限部門で、ZFCで定義されていないと判断された場合・「ＺＦＣ+(ＢＭ４は停止する)」のような公理でのBM4の停止性の証明のように無意味な証明と判断された場合・矛盾やω矛盾していることが明らか、もしくは極めて疑わしいと公理系が使用された証明と判断された場合・他人が既に定義した巨大数をそのまま、もしくはほとんどそのまま使用したと判断された場合・巨大数の定義や、数列の停止性証明部門での証明が不完全であると判断された場合・その他、不適切だと判断された場合』を追加しました。

定義の修正の『定義の修正は、投票期間前であればいつでも可能です。』を『定義の修正は、修正期間であればいつでも可能です。』に変更しました

ありがとうございます！
一つだけですが、基本的には参加者皆さんの審査の結果に基づいて最終裁定すると追記しておいてください
(あまり私の裁定で決定するとばかり書いていると何か勘違いされそうでこわいです)

ところで主催、企画側も巨大数投稿していいですよね？(一応確認しておきます)

後ほど、企画者も投稿OKの旨と基本的には参加者皆さんの審査の結果に基づいてブルームーンさんが最終裁定するという旨を追記しておきますね！
また、自己解析もＯＫと記載してもいいですか？

はい、自己解析もＯＫですが、ほかの人による解析もあったほうがいいですね
自己解析は先入観が出やすくて定義の不備があっても気が付きにくいと思いますので

ルールに以下の３つを追記しました！

・解析部門の説明に『自己解析もOKです』を追加しました。
・部門の説明に『※企画立案者のブルームーンさんの裁定は参加者さんの解析などに基づいて最終裁定します』を追記しました。
・部門の説明に『※企画立案者や主催者も投稿や解析に参加します。』を追記しました。

たとえ自作の巨大数であっても何年も前から定義がネット上などに公開されているものや、
これまでの東方巨大数などの大会に投稿してか無効判定が出なかったものを再度投稿すると
無効となる可能性があります。というルールを追加してください

あと解析する際に使用する表記として好ましいものを上げておきましょう
(みんなが別々のものを使いすぎると比較になりませんので)
ノーマル部門…クヌースの矢印表記、多変数アッカーマン関数、原始数列システム、
　　　　　急増加関数、ハーディー階層(順序数の基本列はワイナー階層です)
ハード部門　ＳＶＯまで…ヴェブレン関数、ブーフホルツのψ
　　　　　　ＢＯまで…ブーフホルツのψ、ペア数列システム、段階配列表記、ハイパー原始数列
　　　　　　ＢＯ以降…何がいいでしょうかね？
無制限部門…現在無策です
上にあげたものはあくまで一例ですのでそれ以外でも使いやすいと思う表記があればお願いします

一応ＢＯ以降の解析に使用する表記の案ですが、
1，Rathjenの弱マーロψ
2，二重原始数列の(1，2，4，6，8，10，…)まで
3，三関数
いずれにせよＢＯまでのものよりも定義が複雑なんですよね…
(弱マーロψは日本語版巨大数研究wikiに記事がなさそうですし…)
二重原始数列の(1，2，4，6，8，10、…)までに制限されたやつの定義を誰か書いてくれないでしょうか…

あ、あとチャーチクリーネ順序数の基本列はどんな性質を持っているのが望ましいか
有識者に聞いてもらえないでしょうか

>120　たとえ自作の巨大数であっても何年も前から定義がネット上などに公開されているものや、
これまでの東方巨大数などの大会に投稿してか無効判定が出なかったものを再度投稿すると
無効となる可能性があります。

については、何年も前から定義は上がっているものの完全には解析はされていないものも含みますか？

>121　それぞれ適切なリンクがあれば教えてください。
これ以外で使いやすそうな候補としては、ハイパーE表記あたりですかね・・。

>122　BO以降は混沌としてますよね・・。
ちなみに私の現状のレベルとしては、ε₀以降が展開法則や近似されると思われるものはわかるもののオリジナルの定義は自身がなくて、
BO以降は展開法則や近似されると思われるものも自信がなくて、
ＰＴＯ系はさっぱり。計算不可能系はビジービーバー関数がかろうじて計算方法を理解できる（計算できるとは言っていない）程度です。

なので、判断難しいところですね・・。
きちんと何で解析しているか明示されていればOKの方向であとは流れを読んで流れを提示していくのがいいのではないでしょうか？

>123
チャーチクリーネ順序数の基本列に関しては私はその人がチャーチクリーネ順序数の基本列に関して有識者なのかどうかわかるレベルにすら至っていないので、難しいところですね・・。
一応Twitterで空リプしてみます。

>124
はい。完全には解析されていないものも含みます。
上にあげた表記は弱マーロψ以外は日本語版巨大数研究ウィキの中にあります(ユーザーブログ含む)

>125　初公開は1年以上前であっても最後の修正が1年以内なら有効ですか？

>126
そうですね…
最後の修正が今年の4月以降なら有効です
しかし、この大会に出せるようにするためだけに定義を変える(例えば定義の最後のｆ＾64(64)をｆ＾65(65)にして修正しましたとすること)
などはだめです

>127　暫定ルールに

無効になる場合のあるケースとして

『・2021年4月より前に最後の修正（修正がない場合は最初の公開）がネット上に公開されたものやネット上の他の大会に対して無効判定のでなかったものを再度投稿したと判断された場合
（この大会に出せるようにする為だけに、定義の最後のｆ＾64(64)をｆ＾65(65)にするなどの無意味な修正を行ったと判断された場合も含む）』

を追記しました。

後ほど、推奨する解析に使用する表記を別紙で記載したいと思います。

停止性証明部門において、バシク行列はバージョン4に限定しておきます
(他のバージョンは停止しなかったり大きさが小さかったりと不具合のあるものが多いから)
あと、ＢＭ４の中の例えばトリオ数列の停止性を証明したとか、(0，0，0)(1，1，1)(2，2，2)
までの停止性を証明したとかいうのも受け付けます
そして、その中で最も大きい部分まで(上の例だとトリオ数列の方が(0，0，0)(1，1，1)(2，2，2)よりも大きい)
証明しているのを優勝とします

>129　・数列の停止性証明部門の注釈に『※バシク行列のバージョンはBM4に限定します。』を追記しました。

そろそろ9月なので、タイトルから【仮称】をはすしました！
あと、名もなき巨大数コンテスト用のスレを作ったので、今後はこちらで議論しましょう。
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

巨大数を始めて二年以上は経ってるのになのに
ε_0を超える巨大数が永遠に書けないままだからコツ教えて下さああああい

>133　既存の表記と同等の表記を別の言い方で書いてみたり、別の表記の拡張で同等のものを作ってみるといいかもです。
あとは同等の表記を見比べてみるとか・・。

すいません。
東方巨大数5はいつ開催されますか？　未定ですか？
東方地霊殿のMusic Roomで神主が「洞窟いいね。」って言ってるので、洞窟数ってのを投稿したいのですが、可能ですか？　一度のイベントでに3つ投稿してもいいですか？

また、LaTeXの使用は必須ではないですよね？
もうLaTeXをインストールしちゃいましたが、私の数ごときでLaTeXまで使うなんてオーバースペックかなとは思います。
どうしても使いこなせなかったら使いません。

>134

遅レスですが、東方巨大数はFHLASRさん主催なのでFHLASRさんの代表の叢武さんに直接ご確認いただいた方がいいかもしれません。

↓叢武さん
https://twitter.com/muratake8901341

おひさしぶりです！

ふぃっしゅ数Vr7ってどーゆーのですか？

こちらでは、東方巨大数についての話題や情報を募集します。

■参考
第三回東方巨大数　巨大数投稿一覧
https://docs.google.com/spreadsheets/d/13dF_JysGD8shMOTYL3KfsFmcKOMNXp7hyfgjVbQZm6I/edit#gid=0

今回は、解析しにくい多変数ヴェブレン階層という微妙な巨大数になってしまい、
サラダ枠入りしてしまったので、次回はちゃんと解析できるようになってもっと有用な巨大数を投稿したい。

東方巨大数３の感想が書き込まれているTwitterのタグ、#車万臣丈類3のリンクを置いておきます。
https://twitter.com/hashtag/%E8%BB%8A%E4%B8%87%E8%87%A3%E4%B8%88%E9%A1%9E3?f=tweets&vertical=default&src=hash

第四回東方巨大数はじまりましたね・・。

↓ルール
https://docs.google.com/document/d/1yfrdN5ewHQBjYZDIM16JNc84UbPyEf7Mpo8xFYVOr1o/edit
↓投稿作品など
https://twitter.com/hashtag/%E6%9D%B1%E6%96%B9%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%EF%BC%94?src=hashtag_click&f=live

このルールにある定義に用いる公理はＺＦＣのみってどういう意味があるのでしょうか

>5　私もよくはわかっていませんが、ZFCという公理で無矛盾であればOKという意味合いだと思われます。

>6　なるほど　ありがとうございます

第四回東方巨大数の結果が発表されましたね・・。

↓順位
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1O37qKpJq95NRZ2mbd3qbW7px5dN6IE421Emk1d3nYOQ/edit?usp=drivesdk

ちょうどよい感じの巨大数の投稿がなくて優勝は二変数ヴェブレンレベルで、強い表記は殿堂入りとなった模様。
解析の限界がペア数列数あたりなのかもですね・・。

実は審査員の解析限界を見極めるゲーム・・。
ちなみに私が投稿したのは最下位の東方紅魔郷大数（10↑↑↑280）です。

第五回東方巨大数3月17日からスタートだそうですね。
https://twitter.com/muratake8901341/status/1631942693722128384

審査員も募集中みたいです。
https://twitter.com/muratake8901341/status/1634402355457454081

東方巨大数5に匿名でエントリーしたい方は、ハンドルネームがあればOkみたいなので、ここに投稿いただければ私が代理で投稿させていただきます！

https://twitter.com/kanrokoti/status/1634512152089485313

>10　ルール追記で代理投稿が1アカウント3つまでになったので代理投稿は今回はなしにします(;^ω^)

東方巨大数5スタートしましたね♪

とりあえず私はこちらの3つをエントリーしました♪

東方巨大数5-限無-有理数 ver.2023
https://twitter.com/AroW4on3KnUExhG/status/1636382054865850372
Extra-彩綺偶子数ver2023
https://twitter.com/AroW4on3KnUExhG/status/1636381818965618692
スーザン数　ver.2023
https://twitter.com/AroW4on3KnUExhG/status/1636698349633159170

いろいろバタバタしていてあたま回らず修正期間中に修正対応終わらなそうだったのでどうせ無効になるならと思い一旦取り下げました(;´∀｀)

あとで自分で解析＆修正していきたいと思います！

東方と巨大数って何が関係してるんですか？　　　　　（東方好き）

まあ東方Projectと巨大な数字に関係があるわけではないですけどね

東方と巨大数がどちらも好きな人がいて、その人が中心となって「東方巨大数」と呼ばれる巨大数投稿イベントを運営しているようです！
これは巨大数界隈で最大級のイベントで、日本の巨大数の発展に大きく貢献しているらしいですね……

要は東方が好きな人が巨大数イベを開いてるみたいな感じですかね？

こちらは名もなき巨大数コンテストに関する話題を書き込むスレです。

↓ルールはこちら
https://docs.google.com/document/d/1seNqd88KmigZgruCGg_GuUsOTmtAVrtY0dSx_to1sP4

↓解析部門総合スレ
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639238

↓開催の経緯
雑談スレの58～131
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269371

解析部門総合スレつくりました！
解析に推奨する表記や、暫定順位などはこちらで相談できればと思います。

https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639238

暫定ルールに

・新しく『◇関連スレッド　・名もなき巨大数コンテスト　総合スレ
このコンテストについての質問や雑談、相談、お知らせ、宣伝などを書き込むスレッドです。・解析部門総合スレ解析や暫定順位などを書き込むスレッドです。』
という項目を追加しました。

・部門の注釈に『※解析に推奨する表記や暫定順位などは解析部門総合スレで相談しながら決めていきたいと思います。』を追記しました。

雑談スレッドはhttps://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269371 です……

>4　失礼しました。今修正しました。

計算可能ノーマル部門のところにも「計算可能に定義された数で」というのが必要ですね
あと、一応巨大数の大会なので0以上の実数ではなくて10＾12以上くらいにしませんか？

>6　計算可能ノーマル部門の説明に『自作の計算可能な手段によって定義されると予想され、』を追加しました。

優勝候補として可能性があるのはノーマルだと思いますが、結果的に10^12未満でも『面白い巨大数』と判断されるものならokかなと思ったのですがどうでしょうか？
ミーム的には6以上やグーゴル以上などが候補でしたが、当初はなるべく大きな括りで可能性を追求して投票により参加者さんに判断してもらおうかなと考えたんですよね・・。

そろそろ投稿開始が近いのでできればここから無効にかかわるようなルールの追加は避けたいところですが、どうしても10^12に変更した方がいいですかね・・？

>7
巨大数の大会なのでいくら面白くても1とか2になるのを投稿されてもと思って…
10＾12でなくてもいいけど巨大数を投稿してほしいという希望です

>8　了解です。

・今大会の自作巨大数の定義の『0よりも大きく』を『10¹²よりも大きく』に変更しました。

そういえば宣伝の方はどうなっていますか？

>10　現時点では、名前に名称を入れて、Twitterで固定ツイートしつつ、ルールの修正する度にツイートしている感じです。
正直なところ、最近復帰したてのアカウントなのであまり効果はないですが、たまにふぃっしゅしゅさんや巨大数大好きbotさんや日本巨大数協会さんなどがリツイートしてくれるのでそこに期待という感じです。

あとTwitterの場合は、参加者さんの投稿がそのまま宣伝になるので、それに期待・・という感じです。

>11なるほど。集まることを願ってます。
それとルールの修正期間と解析、無効判定期間のところに9/9からと書き加えておいてください

>12　期間の修正期間と無効・解析期間に『2021年9月9日～』を追記しました。

投稿が１つもなければ修正も解析も無効判定もないので良いかなと思って開始を省いていました。

　定義の修正について、あまりにも初めに投稿された定義とかけ離れた修正
(修正というか丸ごと新しくしているみたいなの)は修正として認められないようにしてください
　巨大数の名称について、
原則名称変更は二回までで、二回目の変更は初めの名称に戻すことのみ可能としておきます
　あと参加資格として、下記内容に同意すること、というのをルールの上の方に書いておいてください

>14　ルールに以下の変更を加えました。

・定義の修正の説明に『※巨大数名の変更は原則二回までで、二回目の変更は初めの名称に戻す時のみとします。』を追記しました。
・無効となる例に『最初に投稿された定義とかけ離れた修正をしたと判断された場合』を追加しました。
・『※参加する際は以下のルールに同意した上でご参加ください。』という文言を追加しました。

結果発表は12/5頃を予定しています

あと、巨大数の投稿が始まった後でも万が一現行のルールで対応できないことがあった場合、
主催、企画側で議論して対応して、場合によってはルール改正をすることがある、と追記しておいて下さい。


これくらいで大体ルール完成しましたかね…
不備がありそうなら教えてください

東方巨大数が延長されたとしても9/9スタートで良いですか

>17　ルール追記しておきました！

・開催期間に『結果発表12月5日頃を予定』を追加しました。
・注意事項に『巨大数の投稿が始まった後でも万が一現行のルールで対応できないことがあった場合、主催、企画側で議論して対応して、場合によってはルール改正をすることがあります。』を追記しました。

>18　私としてはその認識です。
東方巨大数の投稿期間自体は終わっているので問題ないかなと思います。

開催まで二時間半を切りました！

一時間半を切りました！

政治的、宗教的、差別的な言動はお止めください。と追記しておいてください
あと、ルールについてる「暫定」という言葉を外しておいてください

あと一時間です！

ここに名もなき巨大数コンテストの開催を宣言します！
巨大数投稿期間は９/23の23：59までです！

>22　以下のルールの添削しておきました。

・タイトルから暫定をはずしました。
・注意事項に『政治的、宗教的、差別的な言動はお止めください。』を追記しました。

とりあえず自分でも1本作ってみようと思います。

巨大数及び停止性証明の投稿につける通し番号について
基本的には投稿された日時順に、ノーマル部門にはＮ1、Ｎ2、Ｎ3…、ハード部門にはＨ1、Ｈ2、Ｈ3…、
無制限部門にはＵ1、Ｕ2、Ｕ3…、証明部門にはＰ1、Ｐ2、Ｐ3…
という風につけようかと思います(状況などによって日時順にならないこともある)
番号があったほうが管理がしやすいと思います。

>27　たしかにそうですね！
とりあえずいっぱい投稿してもらえるように頑張ります・・！

Twitterに新しい巨大数が投稿されたので解析用スレッド建てました！

コラッ弱そう数　作：108Hassiumさん
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11642469

Twitterに新しい巨大数が投稿されました！

二重ψ数　作：甘露東風さんが　計算可能ハード部門
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11642524

Twitterに新しい巨大数が投稿されました！

自作数レベル１　作：円周率 π=3.14159265358979323846264338327950288419····さん　無制限部門
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11642852

ノーマル部門とハード部門のどちらにも投稿することはできない、というのを撤廃しようと思うのですがどうでしょうか？
ノーマル部門の優勝を大きさで決めるとしていた時のルールがそのまま残っていたみたいなので
abataさんが賛成なら変えておいてください
それと投稿可能な巨大数の個数を二個から三個に引き上げようと思うのですがこれもどうでしょうか
もう大会が始まった後なのであれですが出来るならお願いします

>32　了解しました！

・部門の説明の『※計算可能部門ノーマルと計算可能部門ハードへは1人につきどちらか1つへの投稿でお願いします。』を削除しました。

・部門の説明の『解析部門、数列の停止性証明部門以外の投稿は全部で1人2つまででお願いします。』を『解析部門、数列の停止性証明部門以外の投稿は全部で1人３つまででお願いします。』に変更しました。

私も巨大数投稿しました！

超指数大数　作：abata　計算可能ハード部門
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11643477

修正していたら全然違う定義になってきたので、超指数大数を撤回します。

P進大好きbotさんによって新しい巨大数が投稿されました！
重複するので、今後は投稿された通知は解析部門総合スレッドの方に通知したいと思います。

勘違いしている人がいるかもしれないので一応言っておくと、同じ部門に2つ以上の巨大数を投稿するのもＯＫです

質問です！停止性証明部門で無限ループを証明したらどういう扱いになりますか？

>38
それも投稿してＯＫです。
その内容によっては、新たに賞を作って入賞者とする可能性もあります。

わかりました、ありがとうございます！

投稿期間が残り一週間を切りました！

>41　ツイッターでも再度告知してみますね！

>ブルームーンさん

Twitterに

停止性証明部門に投稿したいのですが、投稿期間中に証明をまとめられそうにありません。
修正期間中に記事内容を大きく変更してもよいですか？

という質問があったのですが、どうしましょう・・？
停止性部門だけ期限のばしますかね・・？

そうですね…
とりあえず停止性証明部門だけを九月いっぱいまで投稿できるようにしましょうか。

>44　ありがとうございます！
開催期間に『※数列の停止性証明部門のみ9月30日まで』を追記しました。

＞ブルームーンさん

下記の質問が出ていますがどう返答しましょう…？

停止性証明部門についてなのですが
変換写像についての定義だけでも受理されますか？
それとも変換写像の順序同型について証明が必要ですか？

ついでの質問なのですが、
・停止性証明部門以外は23日までが締め切り（従って解析部門は23日までしか投稿できない）
・修正期間は23日以降もあるが修正できると明言されているのは巨大数の定義と名称のみ（従って解析と停止性証明は含まない）
・解析審査期間は23日以降もある（従って23日以降は解析部門の投稿とは別に解析が行われる）
ということは、
・解析部門に投稿された解析（があるのかは把握していませんが）の対象Xが23日以降の修正期間中に修正された場合、修正前のXを解析した解析部門の投稿を修正したり修正後のXの解析を新たに解析部門に投稿したりは出来ない（ただし解析部門とは無関係に解析をしたりすることが想定されている）
という感じの進行であっていますか？

>47
停止性証明の修正も定義の修正と同様に出来ます。
解析部門の期間は解析、無効判定期間中です。

abataさん、上の二つが明記されるようにルールの変更をお願いします。

>48
とりあえず変換写像の定義だけでも受理されるようにしましょう。
そのあとでもある程度なら修正できますので。

それと後修正期間について少し変更を加えたいです。
原則修正は11/15までですが、それ以降の解析により無効判定がでた巨大数に限り
解析、審査期間終了の2日前までは、それの不備を修正する以外の改良などを一切加えない修正
ならば修正しても良いという風にしようと思うのですがどうでしょうか？

なるほど、では解析部門は解析・無効判定期間に掲示板に書き込まれた全解析が対象になる感じですかね。

ありがとうございます。

＞48 了解です！
そのように返信しておきます！

ルールは、とりあえず以下の変更を加えておきました！

・期間の注釈に『※原則修正は11/15までですが、それ以降の解析により無効判定がでた巨大数に限り解析、審査期間終了の2日前までは、それの不備を修正する以外の改良などを一切加えない修正ならば修正しても良い』を追記しました。

・定義の修正の注釈に『停止性証明の修正も定義の修正と同様に出来ます。』を追記しました。

・解析部門の注釈に『※解析部門の期間は解析、無効判定期間中です。』を追記しました。

Twitterでルール確認したところ、管理者権限でスレッドを削除できるという記述があったのですが、
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11656803
こちらのスレッドを削除していただけませんか？
それと、僕が返信のつもりだったのに誤操作でスレッドにしてしまった
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11653173
こちらも不要なら削除お願いします。

＞51 ただいま削除しておきました！

修正期間今日までですね…。

まあ定義に不備があった場合は修正できますので…
あと無効判定がでてから修正するだけではなくて、
先に修正してから、あとでここに不備があったので修正しましたといってＯＫがでればそれでもいいとしませんか？

＞54 そうですね！
自己解析もOKなのでその辺は柔軟にいきましょう。

解析期間の11月までというのを延長した方がよさそうですね。
abataさん、賛成ならお願いします。

12月になったので各部門の候補をしぼっていきたいと思うのですが、
今のところ候補は皆さんどんな感じですかね…？

＞56
どのくらいまで延期した方がよさそうですか？

＞ブルームーンさん
とりあえず投票および一位候補選別を1月1日から7日にして、それまでは解析期間として
7日から投票開始、15日ごろに各部門の一位を発表、という感じでどうでしょうか？

そうですね。そうしましょうか。

＞60 ではその方向で！

1月なったので一位候補選別していきたいと思います！
ご意見や提案ありましたら気軽に書き込みください♪

（もしも特に書き込みなどない場合は、私が独断で進めていきたいと思います。）

特に書き込みなさそうなので、日が変わるまで特にご意見なければ全体的に投票で1位を決定していこうかなと思います。
解析部門は私の独断と偏見でいくつか候補を出して、その他の部門は全エントリーの中で投票で決めたいと思います。

名もなき巨大数コンテストの計算可能ノーマル部門投票所
を作成しました！

1日1回まで投票可能です！
https://vote1.fc2.com/browse/36115907/9/

名もなき巨大数コンテストの計算可能ハード部門投票所
を作成しました！

こちらも1日1回まで投票可能です！
https://vote1.fc2.com/browse/36115907/10/

名もなき巨大数コンテストの無制限部門投票所を作成しました！

こちらも1日1回まで投票可能です！
https://vote1.fc2.com/poll?mode=browse&uid=36115907&no=11

名もなき巨大数コンテストの解析部門投票所を作成しました！

こちらも1日1回まで投票可能です！
https://vote1.fc2.com/browse/36115907/12/

名もなき巨大数コンテストの投票は今日までです！
1日1回投票可能なのでまだ投票されてない方はぜひ今のうちに♪

ということで、すべての投票が終了しましたので、各部門の優勝を発表したいと思います。

◆計算可能ノーマル部門の優勝は、得票率50％獲得で

108Hassiumさんが投稿したコラッ弱そう数
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11642469

となりました。おめでとうございます！

◆計算可能ハード部門の優勝は、得票率81.2%獲得で

108Hassiumさんが投稿した小超限行列数
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11644295

となりました。おめでとうございます！

◆無制限部門の優勝は、得票率46.2%獲得で

P進大好きbotさんの投稿した小ふぃっしゅ数バージョン7
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11644199

となりました。おめでとうございます！

◆数列の停止性証明部門の優勝は、唯一のエントリーということで、

みずどらさんの投稿した証明
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11660262

が優勝となりました！おめでとうございます！

◆解析部門の優勝は、得票率54.5%で

小超限行列数の21番目のレスにゆきとさんが投稿したコメント
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11644295

が優勝となりました！おめでとうございます！

ということで、今回のコンテストは以上です。
最後までお付き合いいただきありがとうございました！

何とか無事に終わってよかったです。

＞70 ご苦労さまでした♪

甘露東風さんがツイッターから名もなき巨大数コンテストの計算可能ハード部門用に投稿した弱K-ψ数の解析用スレッドです。

↓エントリーツイート
https://mobile.twitter.com/kanrokoti/status/1440463180438720519
↓定義
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kanrokoti/%E5%BC%B1K-%CF%88%E9%96%A2%E6%95%B0

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

いくつかバグを見つけているので、一度大幅な修正を入れます

修正が終わりました～

弱K-ψの解説
ψ_a^b(c)に対し、"^b"が"ψ_a^b(c)が何回貫通可能か"を表す
例えば、ψ_1^1(0)は1回貫通可能なので、ψ_1^1(0)は正則基数でdom(c) = ψ_1^1(0)とψ_a^b(c) < ψ_1^1(0)を満たすψ_a^b(c)も正則基数となる
ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[0]
=ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))

ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[1]
=ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))))

ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[2]
=ψ_0^0(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(ψ_1^1(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))))))

この展開例の"^b"の部分を無視すれば、三関数や横ネ段と同じ展開になっているのが分かるだろう
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(0)))))))
弱K-ψは任意のn∈Nに対しn回貫通可能な項を扱う。(名前に弱が付いているのは、添字が<ωに制限されているため)
また、BMSライクな挙動もする
ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_0^2(0)))
時々こんな感じの項が発生する。ψ_0^2(0)は2回貫通可能な正則基数だが、添字が0なので正則基数を使った崩壊の展開を行えない
そこで、次のような展開方法を導入した
ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_0^2(0)))[0]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_1^1(0)))

ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_0^2(0)))[1]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_1^1(ψ_1^1(0))))

ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_0^2(0)))[2]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_1^1(ψ_1^1(ψ_1^1(0)))))
私の心配は、ψ_0^n(0)をこの方法で展開させて良いのかどうかということだ

重要なのは、貫通可能回数に対して強い制限を設けていることである
ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[0]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))

ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[1]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_0^0(ψ_0^1(ψ_0^1(0))))

もしψ_2^2(0)をこの正則基数を使った崩壊の展開に含めてしまうと、容易に無限ループが発生する
ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_2^2(0))+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[0]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_2^2(0))+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))

ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_2^2(0))+ψ_0^0(ψ_1^1(0)))[1]
=ψ_0^0(ψ_2^2(0)+ψ_1^1(ψ_2^2(0))+ψ_0^0(ψ_0^1(ψ_1^1(ψ_2^2(0))+ψ_0^0(ψ_0^1(0)))))
このように、ψ_2^2(0)がψ_1^1()を貫通させてψ_1^1(ψ_2^2(0))のような1回貫通可能項の形になっていれば、ψ_1^1()の中のψ_2^2(0)は正則基数を使った崩壊の展開に含められる

無限ループする例を見つけたので修正します

これ、3変数のままだとバグり散らかすので2変数にしたいんですけど、ルール的にセーフですか？

＞6 私としてはセーフだと思いますが、一応一日経ってブルームーンさんの返答がなければ総合スレッドでブルームーンさんに質問してみますね。

>7 ありがとうございます～

一応、どのような修正なるかというと
・ψ_a^b(c)の^bが無くなる
・ψ_{$n}(0)がn回貫通するための判定関数が追加される
・共終数と基本列の定義が大きく変わる(正則基数を使う展開ルール周りだけだけど)
・ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(0)))))))
など、展開の"^b"の部分を無視したときの挙動はほとんど変わらない(全体的な挙動は(バグっているところを除いて)オリジナルと変わらない(この部分のアイデアがこの表記の中核のため))
・BMSライクな挙動は無くなる(ここは3変数ゆえの特殊事情的展開で、本質とは無関係の挙動)
・貫通回数に強い制限が必要なくなるため、BP関数の挙動が2重ψのものになると思う

>6
その定義の中核部分の構想が変わらないならＯＫだと思います。

>10 了解です～

修正しました

自己解析を載せておきます (左が弱K-ψ、右がブフホψ)
0 0
ψ_0(0) 1
ψ_0(ψ_0(0)) ω
ψ_0(ψ_1(0)) ε_0
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)) ψ_0(ψ_2(0))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_0(ψ_1(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(0))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_0(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_0(ψ_1(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_1(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(0))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)+ψ_0(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)+ψ_0(ψ_1(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)+ψ_1(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(0)+ψ_2(0))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(0))) ψ_0(ψ_2(ψ_0(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))))) ψ_0(ψ_2(ψ_0(ψ_1(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(ψ_0(ψ_2(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0))) ψ_0(ψ_2(ψ_1(0)))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))) ψ_0(ψ_2(ψ_1(ψ_0(0))))
ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)))) ψ_0(ψ_2(ψ_1(ψ_1(0))))
ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))) ψ_0(ψ_ω(0))

ついでに展開例も載せておきます

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(0))))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))[0]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))[1]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))))[0]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))))[1]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))))))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0))))))))))


ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0))))[0]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(0))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0))))[1]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(0)))))))

ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0))))[2]
=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)+ψ_0(ψ_0(0))))))))))

ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))[0]
=ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0)))

ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0)))[1]
=ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(ψ_0(0))+ψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(0)))))

ψ_0(ψ_1(0))の基本列が途中から
ψ_0(ψ_0(ψ_0(0)))から変化しないような気がするのですが意図通りでしょうか？
私が定義を読み間違えていたらすみません。

ほんとですね、ありがとうございます！修正します

修正しました！！

アルゴリズムをさらに改良しました

https://naruyoko.github.io/googology/weakKPsi/implementation.html
Naruyokoさんが計算機を作ってくれました！！

甘露東風さんがツイッターから名もなき巨大数コンテストの計算可能ハード部門用に投稿した二重ψ数の解析用スレッドです。

↓エントリーツイート
https://twitter.com/kanrokoti/status/1435994836218220545
↓定義
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kanrokoti/2%E9%87%8D%CF%88%E9%96%A2%E6%95%B0

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

s<tの定義の4の2の

1.a<cである
2.a=cかつb<dである
3.a=cかつb=dかつc<fである

はもしかして、

1.a<dである
2.a=dかつb<eである
3.a=dかつb=eかつc<fである

の間違いではないでしょうか？

そうですね！修正しました

>3 修正確認しました！

基本列の3の1の1の1で、s[t]:=tとありますが、
dom(a)=0の時は、＄1[t]:=tという解釈で合ってますか？

そうですね。$1=ψ_0(0,0)なので、
s=ψ_0(0,0) 基本列3
dom(c)=0　基本列3-1
dom(b)=0　基本列3-1-1
dom(a)=0　基本列3-1-1-1
よって、$1[t]は基本列3-1-1-1で計算し、$1[t]=tとなります。
これは、1を正則基数とみなす流儀による定義方法ですね。この流儀では、$1[t]を計算する必要が出てくる場合必ずt=0となるように構成して、値が増えてしまわないようにします。

>6　なるほどです。
tをdom(s)未満みたいに限定せずに構成で抑えるんですね・・。勉強になります。

7> 実際、s=1ならば、s[t]:=0と定義する方がどちらかというと標準的です。1を正則基数とみなす流儀の良いところは定義が簡潔になることですね。

>8　なるほど・・。

>8 ψ_0(0,ψ_＄ω(0,0))[3]ってどうなりますか？

あとψ_0(0,ψ_＄ω(0,0)+ψ_＄ω(0,0))[3]はどうなりますか？

>10 >11
dom($ω) = $ω
dom(ψ_{$ω}(0,0)) = $ω

s = ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0))[3] 基本列3-3
dom(c) = $ω < s = ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)) 基本列3-3-1
ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0))[3]
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)[3]) 基本列3-1-1-2
=ψ_0(0,ψ_{$ω[3]}(0,0)) 基本列3-2-1
=ψ_0(0,ψ_{$3}(0,0))


ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$ω}(0,0))[3]
=ψ_0(0,(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$ω}(0,0))[3]) (分かりやすさのためにあえて()で[3]が掛かっている範囲を明示)
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+(ψ_{$ω}(0,0))[3]) (分かりやすさのためにあえて()で[3]が掛かっている範囲を明示)
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$ω[3]}(0,0))
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))

>12　なるほどです・・。

>13 全部書くとめっちゃ長くなるのである程度省略しました。分からないところあったら遠慮なく聞いてください。

>14 ありがとうございます！

ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))[3]はどうなりますか？

>16

dom(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)) = ψ_{$3}(0,0)

ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))[0] 基本列3-3-2-1-2
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(0,0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0))

ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))[1] 基本列3-3-2-1-1 Γ=ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0)
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(Γ,0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0))

ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))[2] 基本列3-3-2-1-1 Γ=ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0)
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(Γ,0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0),0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0),0))

ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0))[3] 基本列3-3-2-1-1 Γ=ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0),0)
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(Γ,0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$3}(0,0)[ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0),0),0)])
=ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(ψ_{$ω}(0,0)+ψ_{$2}(0,0),0),0),0))

>17　なるほどです！

もしかしたらバグを見つけたかもしれません(上に挙げた全て計算例には影響が出ない範囲で)

>19　なるほどです・・。
どのあたりにバグが生じていると思われますか？

>20 基本列の3-1-3-2-3-1と3-1-3-2-3-2の場合分けと、3-3-2-3-1と3-3-2-3-2の場合分けですね。

>21　なるほどです・・。

修正しました！！

さらに修正しました。これで既知のバグは全部取れたはず

少々の自己解析
https://docs.google.com/spreadsheets/d/11ZuezxFZ8JFMDbt1QEdBWN2Z4DcG2v2NIX9ROTy3pqg/edit?usp=sharing

弱K-ψと同様のバグがあったので修正しました

Naruyokoさんが計算機を作ってくれました！！
https://naruyoko.github.io/googology/doublePsi/implementation.html

abataがツイッターから名もなき巨大数コンテストの計算可能ハード部門に投稿したabata数列数

の解析用スレッドです。

↓エントリーツイート
https://twitter.com/AroW4on3KnUExhG/status/1439971478657650689
↓定義
https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

以下の修正を行いました！

・（３－１）の『m=0の時、C(S)[n,m]はvの集合とする。』を『C(S)[n,m]はn以下の非負整数の集合とする。』に変更しました。
・（３－２）の『C＝A(W)[y]』を『C＝Asc(W)[y]』に変更しました。
・（３）の『0<t≦nとなる整数tにおいてVt+1=Vt ,Uとし』を『0≦t≦nとなる整数tにおいてVt+1=Vt ,Uとし』に変更しました。
・（２）の『bがa<bと非負整数、』を『bがa<bを満たす非負整数、』に変更しました。
・『に含まれる』という表現を『に属す』という表現に修正しました。

全体的な表記の不備の指摘があったので、全体的に別紙に書き直し中です・・！

定義を大幅に修正しました！
https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc/edit?usp=drivesdk

任意の～の使い方と、順序の定義に不備が指摘されましたので修正中です…！

再度修正しました！
https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc/edit?usp=drivesdk

またまた不備を指摘いただいたので再度修正に入りました…

指摘いただいた箇所の修正完了しました！
https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc/

再度量化まわりの文言を修正しました…！
小学生レベルの算数が理解出来てないのがバレバレですね…。

https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc/edit?usp=drivesdk

マジレスすると量化をきちんと演習するのは算数ではなく大学数学ですね

＞10
なるほど…！

数列の順序と定義を修正しました…！

https://docs.google.com/document/d/1UO8v22H82nL5CZCYRiJ5VThR8PrETHXtHUBjxpNfEpc/

解析結果次第でノーマルに移行するかもしれません…(^-^;

以下の修正を行いました！

・（1-0-1）の『あるk∈Sn,mを満たすkを用いて、以下の事を定める』を『任意のk∈Sn,mを満たすkに対して、以下の事を定める』に変更しました。

・（1-1-2）の『ある「k∈Sn,mかつ、ある【t∈Sa,m、b∈S0,m】を満たすtとbが存在して、k=t,b」を満たすkを用いて、以下の事を定める』を『任意の「k∈Sn,mかつ、ある【t∈Sa,m、b∈S0,m】を満たすtとbが存在して、k=t,b」を満たすkに対して、以下の事を定める』に変更しました。

・（2-1-1）に『数列aとbのk+1番目の要素が異なり』を追記しました。

・（1-1-2-2）の「『数列kのn+1番目の要素』をbである」を「『数列kのn+1番目の要素』はbである」に変更しました。

・（2-1）の『Sは、ある非負整数aとbが存在して、k∈Sa,bを満たすようなk全体の集合であると定め、』を『Sを、ある非負整数aとbが存在して、k∈Sa,bを満たすようなk全体の集合であると定め、』に変更しました。

以下の項目を変更しました！

・（3-1-0）の『ある【「U∈Asc(T)[x,n]かつTが数列なら『U＜TまたはU=T』、v∈Asc(T)[x,n]かつv≦n】を満たすUとvを用いて、』を、

『ある【U∈Asc(T)[x,n]かつ（Tが数列なら『U＜TまたはU=T』）かつv∈Asc(T)[x,n]かつv≦n】を満たすUとvを用いて、』に変更しました

・（3-1-1）の『ある【y∈Asc(T)[x,n]、z∈Asc(T)[x,n]】を満たす非負整数yとzを用いて、』を、

『ある【y∈Asc(T)[x,n]かつz∈Asc(T)[x,n]】を満たす非負整数yとzを用いて、』に変更しました

・（2-1-1-1）の『数列Uの長さがkとなる数列U』を『長さがkとなる数列U』に変更しました

・（3-1）の『ある非負整数xを用いて、a=x+1の時』を『ある非負整数xを用いて、a=x+1と表せる時』に変更しました。

・（3）『非負整数nとn未満の非負整数a』を『非負整数nとa』に変更しました

少し定義を読んでみました。多分定義に下のような不備があります。

(1)数列の定義　のところでＳ_mを定義するといっているのにその定義がありません。

(3)のところでＡｃｓ(Ｔ)[n]は関数であるといってますがその後(3-2)で非負整数になってませんか？

Ｔが∀のときのＡｃｓ(Ｔ)[a,n]とＡｃｓ(Ｔ)[n]の定義がありません。

(3-1-0)のところの文章の括弧の数がおかしい気がします。

＞17 ご指摘ありがとうござぃます！
後ほど精査して修正します！

以下の3箇所を修正しました。

・（3-1-0）の『ある【ある【U∈Asc(T)[x,n]かつ（Tが数列なら『U＜TまたはU=T』）かつv∈Asc(T)[x,n]かつv≦n】を満たすUとvを用いて、』

を

『ある【U∈Asc(T)[x,n]（ただしTが∀でないなら『U∈Asc(T)[x,n]かつ[U＜TまたはU=T]』）かつv∈Asc(T)[x,n]かつv≦n】を満たすUとvを用いて、』に変更しました。

・（3）Abata数列Asc(T)[n]の『任意の【数列または∀となるTと、非負整数nとa】に対して、集合Asc(T)[a,n]と関数Acs(T)[n]を以下のように定義する』

を

『任意の【数列または∀となるTと、非負整数nとa】に対して、Asc(T)[a,n]とAcs(T)[n]を以下のように定義する』に変更しました。

・（1）数列の定義の『任意の非負整数nとmに対して、数列とSとSmとSn,mを以下のように定義する』

を

『任意の非負整数nとmに対して、数列とSとSn,mを以下のように定義する』に変更しました。

Ａｓｃ(1)[1,1]の定義にＡｓｃ(1)[1]が出てきて、Ａｓｃ(1)[1]の定義にＡｓｃ(1)[1,1]が出てきていて、
循環していませんか？

＞20
ほんとですね…。

・（3-1-0）の『ある【U∈Asc(T)[x,n]（ただしTが∀でないなら『U∈Asc(T)[x,n]かつ[U＜TまたはU=T]』）』を『ある【U∈Asc(T)[x,n]（ただしTが∀でないなら『U∈Asc(T)[x,n]かつ[U＜T]』）』に変更しました

p進大好きbotさんがツイッターから名もなき巨大数コンテストの

計算可能ハード部門用に投稿した行列システムの計算可能限界数
と
無制限部門に投稿した行列システムの計算不可能限界数

の解析用スレッドです。

↓エントリーツイート
https://twitter.com/non_archimedean/status/1439223172520239105
↓定義
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

行列の和を定義するところで間違ってベクトルの和を定義してしまっていたので修正しました。
↓が差分ページです。

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0?type=revision&diff=39880&oldid=39874

自己解析を追加しました。

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0#.E8.A7.A3.E6.9E.90

形式化のところに出てくる写像Ｅnumerateの出力がＭａｔＳｙｓの要素になってないように見えます。
それと計算可能巨大数と計算不可能巨大数のところにそれぞれ複数の間違いがあるように見えます。
　(例えば写像eの定義域はＭａｔとしていたのに自然数を代入していませんか？)

ありがとうございます。ご指摘の箇所を修正しました。他にも間違いがあれば教えていただけると幸いです。
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0?type=revision&diff=40800&oldid=39882

写像ＥnumerateのところのＴＭ(b)◦eがＭａｔ→Ｍａｔではない気がします。
また計算可能巨大数のところのｘ_３や、計算不可能巨大数のところのＭＳもＭａｔＳｙｓの
要素になってない気がします。

ありがとうございます。e^{-1}の記法を導入することで無理やり解決しました。
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0?type=revision&diff=40947&oldid=40827

ＴＭ(a)◦eのほうはe^{-1}はいらない気がします。

たびたびすみません。e^{-1}消しました・・。差分はこちらです。

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E9%99%90%E7%95%8C%E6%95%B0?type=revision&diff=41038&oldid=40947

ブルームーンさんが自作巨大数投稿所から名もなき巨大数コンテストの

無制限部門に投稿したリニアムーン数

の解析用スレッドです。

↓自作巨大数投稿所
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11269452

名もなき巨大数コンテスト総合スレッド
https://googology.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=11639234

↓投稿内容

173：ブルームーン : 2021/09/19 (Sun) 22:26:20
Ｎを自然数全体の集合とする
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽
　3,a,bがともに偶数ののとき、a％bとa/2％b/2は同値
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと(a-1)/2％(b-1)/2は同値
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真
　6,aが1でない奇数かつbが偶数ののとき、a％bは偽
集合Ｐを次のように再帰的に定義する
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐ
　a∈Ｐかつが自然数ならば(a,b)∈Ｐ

174：ブルームーン : 2021/09/19 (Sun) 22:39:56
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である
　　1,aが自然数かつx∈Ｐ
　　2,a,xが共に自然数かつa％x
　　3,a,x∈Ｐかつa＜x
　　4,a＝xかつb％y
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)を次のように定義する
p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*2^b-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*2^(b+1)-2^k
ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする

176：abata : 2021/09/20 (Mon) 01:32:48
>173　

a∈Ｐかつが自然数ならば(a,b)∈Ｐ
は
a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐ
の誤植でしょうか？

179：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 05:25:21
>176
はい。その通りです。

180：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 05:53:38
以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
　写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ　n→Ｃ(n)を次のように定める。
Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
　　　ただしa,bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
　自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
　　(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
　　ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
　自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
　2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
　　r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
　　を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
　　　1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
　　　2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
　　　3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
　自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。

181：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 06:14:05
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。

185：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 14:57:44
　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　　ただしa、bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

186：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 15:29:30
ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}
　任意のＬＴ_nの要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_n[f∈Ｆ_p∧p＜a]}
　任意のＬＴ_nの要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_aを次のように定義する。
　　ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　ただしpはaより小さいＬＴ_nの要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
　Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。

187：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 15:43:54
>186の訂正です。
　任意のＬＴ_nの要素aに対して、というところを任意の(1,1)でないＬＴ_nの要素aに対して、としてください
　Ｆ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aにおいても同様にa≠(1,1)です。
　aが(1,1)のときのＦ_a、Ｓ_a、ＯＴ_aについてはあとで定義します

　補足です。
　Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることです

188：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 21:54:07
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴを次のように定義する。
　　　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→x≦y]　を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴを次のように定義する。　
　　　Λ(n)＝aである。
ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→x≦a]　を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎを次のように定義する。
　　　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　　　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎを次のように定義する。
　　　　ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)

189：ブルームーン : 2021/09/20 (Mon) 21:56:29
このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数と名付けて、これを名もなき巨大数コンテストの無制限部門への投稿とする。


新規スレッドの建て方が分からないのですがここに書いても受理されますか？

190：abata : 2021/09/20 (Mon) 23:46:00
>189 大丈夫ですよ！
コピペで解析スレ立てておきますね

ＯＴ_(1,1)の定義
自然数nについて集合Ｅ＠_nを次のように定める。
(Ｅ_nの定義のなかの、Ｓ_(Ｇ,Ａ)をＳ_(1,1)に書き換えて、Ｅ_nをＥ＠_nに書き換えればそれがＥ＠_nの定義になります)
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定める。
　Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
　

Ｆ_(1,1)の定義
集合Ｆの要素のうち、再帰関数であるもの全体の集合です。
Ｓ_(1,1)の定義
適当にチューリングマシンを辞書的順序に並べて定義するのですが、定義が長くなるのでここだけ後回しです
(修正という形で後ほど定義します。)

整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎを次のように定義する。
Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^2n)を次のように定義する。
　Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n](-1+x_k)(4n)^(k-1)
ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+anを満たす自然数である。
自然数nおよび(4n)^2n以下の自然数mに対して写像Ｍ_(n,m):Ｔ×Ｎ_n×Ｚ→Ｔ×Ｎ_n×Ｚを次のように定義する。
　Ｍ_(n,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
　　ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
　　z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
　　s、n＠、s＠はＬ_n^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。

自然数nに対してＦ(1)の要素f_nを次のように定義する。
　a、bを、n＝a-(4b)^2b+Σ[k＝1,b](4k)^2kかつa≦(4b)^2bを満たす自然数とする。
　　Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
　　　を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
　　　を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
　　Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
　　　条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
　　　条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
　　　Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
　　　f_n(m)＝1であることは同値である。

2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎを次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
　f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)を次のように定義する。
Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
　　ただしa,bはn＝2^(a-1)*(2b-3)を満たす自然数である。

>4～>6がＳ_(1,1)とＦ_(1,1)の定義なので、これで一応リニアムーン数の定義が完成しました。
恐らくタイプミスや定義のミスなどがあると思うので、遠慮なく指摘してください。

＞7 計算不可能系は理解できるかわかりませんが、自分の修正がおわったらせめて挑戦してみます！
タイプミスとかは指摘できるかもしれないので…。

訂正が挟まっていたり複数レスに分かれたりしていて可読性が低いので、訂正分も反映した上で１つのレスにまとめてくださる救世主はいませんかね・・？

ところで
> (4b)^2b
などの表記を使っていますが、((4b)^2)bと(4b)^{2b}のどちらを表すものでしょう？

>9
(4b)^2bは(4b)^(2b)を表しています。

Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
　3,a,bがともに偶数ののとき、a％bとa/2％b/2は同値である。
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと(a-1)/2％(b-1)/2は同値である。
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
　6,aが1でない奇数かつbが偶数ののとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
　a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
　　1,aが自然数かつx∈Ｐ
　　2,a,xが共に自然数かつa％x
　　3,a,x∈Ｐかつa＜x
　　4,a＝xかつb％y
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)を次のように定義する。
p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*2^b-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*2^(b+1)-2^k
　　　 ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。

写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ　(a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
　Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^2n)　h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
　Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n](-1+x_k)(4n)^(k-1)
ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+anを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^2a以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ　(t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
　Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
　　ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
　　z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
　　s、n＠、s＠はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
　a、bを、n＝a-(4b)^2b+Σ[k＝1,b](4k)^2kかつa≦(4b)^2bを満たす自然数とする。
　　Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
　　　を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
　　　を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
　　Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
　　　条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
　　　条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
　　　Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
　　　f_n(m)＝1であることは同値である。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ　(x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)を次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝2^(-1+x_1)*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
　f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
　f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)　n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
　　ただしa,bはn＝2^(a-1)*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
　そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
　Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
　

以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
　写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ　n→Ｃ(n)を次のように定める。
　　Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
　　　ただしa,bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
　自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
　　(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
　　ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
　自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
　自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
　　r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
　　を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
　　　1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
　　　2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
　　　3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
　自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)　n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　ただしa、bはn＝(2b-1)*2^(a-1)を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して2^n-1を足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a　n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
　　ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　ただしpはaより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
　(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ　(p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
　　　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]　を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ　n→Λ(n)を次のように定義する。　
　Λ(n)＝aである。
ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]　を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ　(p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ　n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
　ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)

このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。

>9
とりあえず修正を入れて三つのレスにまとめました。(一つではないですがこれでも大丈夫ですか？)

ありがとうございます。

複数箇所「偶数ののとき」の誤植がありますね。

> (4b)^2bは(4b)^(2b)を表しています。

全体的に演算の結合順が不明瞭なのでカッコを補わないと曖昧です。

例えば(a-1)*2^b-1は((a-1)*2^b)-1の意味ですか？　その場合は

自然数に0を含める場合
B((0,0)) = ((0-1)*2^0)-1 = -2
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined

自然数に0を含めない場合
B((1,1)) = ((1-1)*2^1)-1 = -1
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined

(a-1)*2^b-1が(a-1)*2^(b-1)の意味である場合は

自然数に0を含める場合
B((0,0)) = (0-1)*2^(0-1) = -1/2
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined

自然数に0を含めない場合
B((1,1)) = (1-1)*2^(1-1) = 0
となり値がＮに入らないので写像Ｂ:Ｐ→Ｎはill-defined

という感じで結局どの場合もBがill-definedなのですが、構文に曖昧さを残しているために
１つの問題点を指摘するために指摘する側がいちいち全解釈パターンを網羅して指摘する
必要があってそこが律速段階となってしまうので、曖昧さを排除した書き方をしていただけると
より皆に指摘してもらいやすくなってお互いに便利かと思います。

自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
　3,a,bがともに偶数のとき、a％bとa/2％b/2は同値である。
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
　6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
　a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
　　1,aが自然数かつx∈Ｐである。
　　2,a,xが共に自然数かつa％xである。
　　3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
　　4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)　を次のように定義する。
　p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
　　　 ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ　(x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)　を次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))

写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ　(a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
　Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n))　h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
　Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
　ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+a*nを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ　(t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
　Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z＠)である。
　　ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たす写像であり、
　　z＠はz＠＝z+s＠を満たす整数であり、
　　s、n＠、s＠はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たす。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
　a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たす自然数とする。
　　Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
　　　を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
　　　を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
　　Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
　　　条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
　　　条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
　　　Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
　　　f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
　f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
　f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)　n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
　　ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
　そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
　Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。

以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
　写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ　n→Ｃ(n)を次のように定める。
　　Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
　　　ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
　　(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
　　ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
　自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
　自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
　　r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
　　を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
　　　1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
　　　2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
　　　3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
　自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x)とk-2以下の自然数の集合の共通部分に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f,x,kをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)　n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nにおいて、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a　n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
　　ＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　ただしpはaより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうちＢによる像がk番目に小さいものとして、k、bはn＝(2b-1)*2^(k-1)を満たす自然数である。
もしそのようなkが存在しないならば、p＝(1,1)、b＝nである。
　(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ　(p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]　を満たす。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ　n→Λ(n)を次のように定義する。　
　Λ(n)＝aである。
ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]　を満たす。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ　(p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ　n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
　ＬＭ(n)＝f(Λ(n),n)

このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。

>16
なるほど。ありがとうございます。

かっこを補って計算の優先順位を分かりやすくしてみました。

ありがとうございます。（何かこちらのコメントで(a-1)*2^bと書いてしまいましたが全部(2a-1)*2^bの書き間違いをしたみたいです。すみません）

> ただしx_kはＪ_n(h(a,b))＝x_(b+an)かつk＝b+a*nを満たす自然数である。

a,bが未定義かつ未量化です。更にx_0,x_1,…を定義しないとx_(b+an)が意味を持たず、一方でx_0,x_1,…の定義には当然x_kが参照されるので、循環論法であるように思います。

というわけで「ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である」か何かの誤植ではないでしょうか？

>22
ありがとうございます。
その部分どうやって書いたらいいかわからなかったので助かります。
そのまま使わせていただきます。

自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
　3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
　6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
　a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
　　1,aが自然数かつx∈Ｐである。
　　2,a,xが共に自然数かつa％xである。
　　3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
　　4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)　を次のように定義する。
　p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
　　　 ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ　(x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)　を次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))

写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ　(a,k,b)→Ｊ_(a,k,b)を次のように定義する。
　Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n))　h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
　Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
　　ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ　(t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
　　Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z+s＠)である。
　　ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たすただ一つのＴの要素であり、
　　s∈{0,1}、n＠∈Ｎ_a、s＠∈{-1,1}はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たすただ一つの整数である。
自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。
　a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。
　　Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
　　　を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
　　　を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
　　Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
　　　条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
　　　条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
　　　Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
　　　f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
　f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
　f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)　n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
　　ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
　そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
　Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。

以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
　写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ　n→Ｃ(n)を次のように定める。
　　Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
　　　ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
　　(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
　　ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
　自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
　自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
　　r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
　　を満たすＧ_tの要素(f,n)が存在することは同値である。
　　　1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
　　　2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
　　　3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
　自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f∈Ｇ,x∈Ｎ,k∈ＮをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在するとき、かつそのときに限り、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)　n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a　n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
　　k、bをn＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　　ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_a(n)＝Ｓ_(1,1)(n)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ　(p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]　
　　を満たすただ一つのＰの要素である。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ　n→Λ(n)を次のように定義する。　
　Λ(n)＝aである。
　　ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]　
　　を満たすただ一つのＰの要素である。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ　(p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ　n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
　ＬＭ(n)＝Ｘ(Λ(n),n)


このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。

> a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。

これaとb逆だったりしませんかね？　M_(a,b)考えるところでどちらかというとM_(b,a)考えたい気持ちがあるのですが。

>28
その通りですね。ありがとうございます。
a、bを、n＝a-(4b)^(2b)+Σ[k＝1,b]{(4k)^(2k)}かつa≦(4b)^(2b)を満たすただ一つの自然数とする。の部分は
a、bを、n＝b-(4a)^(2a)+Σ[k＝1,a]{(4k)^(2k)}かつb≦(4a)^(2a)を満たすただ一つの自然数とする。
が正しいです。

毎回修正するたびに定義を全部書くのは大変なのでまた修正事項が増えてきたら新しく全部書きます。

了解です。

> 自然数nに対してf_n⊂Ｆ(n)を次のように定義する。

⊂が∈の誤植で、F(n)がF(1)の誤植ではないでしょうか？

> Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する

kが未定義です。

> 自然数x_1の集合において順序％が整列順序となるならば、

自然数x_1全体の集合への順序％の制限が整列順序となるならば、という意味でしょうか？

勘違いしてたら申し訳ありませんが、％は(Z＼N)^2に辞書式順序を入れたものに最小元を添加したものと順序同型なので、％の制限が整列順序となるようなNの部分集合は有限集合に限られるのではないでしょうか？

>　⊂が∈の誤植で、F(n)がF(1)の誤植ではないでしょうか？
その通りです。　ありがとうございます。

> kが未定義です。
たしかにそうですね。Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する、の部分を
kをＳ_(1,1)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在する
にしておいてください。

>自然数x_1の集合において順序％が整列順序となるならば、

自然数x_1全体の集合への順序％の制限が整列順序となるならば、という意味でしょうか？

aをＮの部分集合としたときに、aにおいて順序％が整列順序となるとは
∀b⊂a[b≠{}→∃c∈b[∀d∈b[c≠d→c％d]]]であることを意図していますが「制限」という言葉はあったほうが良いのでしょうか。

>勘違いしてたら申し訳ありませんが、％は(Z＼N)^2に辞書式順序を入れたものに最小元を添加したものと順序同型なので、％の制限が整列順序となるようなNの部分集合は有限集合に限られるのではないでしょうか？
たとえば集合aをa＝{2^n:n∈Ｎ}とするとこれは無限集合ですが整列順序になっているはずです。
なってなかったらたぶんわたしがどこかで定義を間違えています。

> aをＮの部分集合としたときに、aにおいて順序％が整列順序となるとは
> ∀b⊂a[b≠{}→∃c∈b[∀d∈b[c≠d→c％d]]]であることを意図していますが「制限」という言葉はあったほうが良いのでしょうか。

いえ、なくてもいいですが「自然数x_1の集合」が未定義かつ未量化だったので、「自然数x_1全体の集合」の意味かを確認したかった感じです。

> たとえば集合aをa＝{2^n:n∈Ｎ}とするとこれは無限集合ですが整列順序になっているはずです。

それに対してb = a ＼{1}と置くと、cが存在しなくないですか？　上のコメントは「N^2の辞書式順序」ではなく「(Z＼N)^2の辞書式順序」であることにご注意ください。つまりNの順序の逆順序の直積になっています。

> それに対してb = a ＼{1}と置くと、cが存在しなくないですか？　(a＝{2^n:n∈Ｎ})
　
　c＝2とすれば∀d∈b[c≠d→c％d]が成立すると思います。
　
　証明
　任意の2でないbの要素はある2以上の自然数nを用いて2^nと表される。
　％の定義の4より2％(2^n)を示すには1％(2^(n-1))を示せばよいが、
　2^(n-1)≠1であるため％の定義の1よりこれは真である。
　よって任意の2でないbの要素dに対して2％dであることが示された。　Ｑ．Ｅ．Ｄ．

ところでp進大好きbotさんは0を自然数に含める方ですか？

本当ですね。すみませんルールを誤解していました。2冪の時は逆順じゃないNの順序で、2冪でなくなる時に逆順になるんですね・・。

僕自身は0を自然数に含める方ですね。数論や集合論ではその流儀がメジャーだと思います。

> ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1

ここもkが未定義かつ未量化ですので同様の修正が必要かと思います。

> 条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」

ここもkが未定義かつ未量化ですので同様の修正が必要かと思います。

> G_t

未定義です。

> f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。

a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。

> Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1の集合において
> 順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1の集合である。

これらもやはり「自然数x_1の集合」２箇所が「自然数x_1全体の集合」だと思います。

> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝…
> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a…

FF_aとSS_aがaのみから定まらない（暗黙の変数であるnにも依存する）ため、結果的に F_aもa飲みから決まらなくなっているように見えます。FF_{a,n}やSS_{a,n}やF_{a,n}などのように依存関係が明確な記法にしていただけますでしょうか？　でないとFF_aの定義のF_pが依存する暗黙の変数が不定である（nなのかpに依存して決めるnより小さいかもしれない値なのか定まらない）ので、FF_aの定義が不明瞭となると思います。

> ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]　
> を満たすただ一つのＰの要素である。

このようなyって本当にただ１つ存在するのでしょうか？　何かyはOTに入らなくて良いので一意でない気がします。

> ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]　
> を満たすただ一つのＰの要素である。

こちらも同様に一意でない気がします。

自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
　3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
　6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
　a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
　　1,aが自然数かつx∈Ｐである。
　　2,a,xが共に自然数かつa％xである。
　　3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
　　4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)　を次のように定義する。
　p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
　　　 ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ　(x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)　を次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))

写像Ｚ→{0,1}全体の集合をＴとする。
自然数nに対し、写像{0,1}×Ｎ_n→{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}全体の集合をＨ_nとする。
自然数nに対し、写像Ｊ_n:{0,1}×Ｎ_n×{-1,1}→Ｎ　(a,k,b)→Ｊ_n(a,k,b)を次のように定義する。
　Ｊ_n(a,k,b)＝k+(a+b+1)*n
自然数nに対し、写像Ｌ_n:Ｈ_n→Ｎ_((4n)^(2n))　h→Ｌ_n(h)を次のように定義する。
　Ｌ_n(h)＝1+Σ[k＝1,2n]{(-1+x_k)*((4n)^(k-1))}
　　ただしx_kは、k=b+a*nを満たす一意な(a,b)∈{0,1}×N_nに対しＪ_n(h(a,b))＝x_kを満たす自然数である。
自然数aおよび(4a)^(2a)以下の自然数mに対して写像Ｍ_(a,m):Ｔ×Ｎ_a×Ｚ→Ｔ×Ｎ_a×Ｚ　(t,n,z)→Ｍ_(a,m)(t,n,z)を次のように定義する。
　　Ｍ_(a,m)(t,n,z)＝(t＠,n＠,z+s＠)である。
　　ただしt＠は、k＝zならばt＠(k)＝s、k≠zならばt＠(k)＝t(k)を満たすただ一つのＴの要素であり、
　　s∈{0,1}、n＠∈Ｎ_a、s＠∈{-1,1}はＬ_a^-1(m)(t(z),n)＝(s,n＠,s＠)を満たすただ一つの整数である。
自然数nに対してf_n∈Ｆ(1)を次のように定義する。
　a、bを、n＝b-(4a)^(2a)+Σ[k＝1,a]{(4k)^(2k)}かつb≦(4a)^(2a)を満たすただ一つの自然数とする。
　　Ｍ_(a,b)が条件「条件「t(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることは同値である。」
　　　を満たす自然数mが存在するような任意のt∈Ｔに対して、Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第二成分がaとなる自然数cが存在する。」
　　　を満たさないならば、任意の自然数kに対してf_n(k)＝0である。
　　Ｍ_(a,b)が上の条件を満たすならば、
　　　条件「条件「t＠(k)＝1であることとkがm以下の自然数であることが同値である。」を満たすＴの要素t＠をtとして、
　　　条件「Ｍ_(a,b)^c＠(t,1,0)の第二成分がaとなる。」を満たす最小の自然数c＠をcとして、
　　　Ｍ_(a,b)^c(t,1,0)の第一成分をs、第三成分をs＠としたときにs(s＠)＝1である。」を自然数mが満たすことと、
　　　f_n(m)＝1であることは同値である。
自然数nと2以上の自然数mに対してf_(n,m)∈Ｆ(m)を次のように定義する。
　f_(n,m)(x_1…x_m)＝1であることと、f_n(Ｖ_m(x_1…x_m))＝1であることは同値である。
集合Ｆ_(1,1)⊂Ｆを次のように定義する。
　f∈Ｆ_(1,1)であることと、f_(n,m)＝fを満たす自然数nおよび2以上の自然数mが存在することは同値である。
全射写像Ｓ_(1,1):Ｎ→Ｆ_(1,1)　n→Ｓ_(1,1)(n)を次のように定義する。
　Ｓ_(1,1)(n)＝f_(a,b)
　　ただしa,bはn＝(2^(a-1))*(2b-3)を満たす自然数である。
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
　kをＳ_(1,1)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(1,1)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
　順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x_1の集合である。
　そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
集合ＯＴ_(1,1)を次のように定義する。
　Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ_(1,1)はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。

以下、集合Ｇ⊂Ｆと全射写像Ａ:Ｎ→Ｇが与えられたとして
集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆ、全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)及びＯＴ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｎを定義する。
　写像Ｃ:Ｎ→Ｇ×Ｎ　n→Ｃ(n)を次のように定める。
　　Ｃ(n)＝(Ａ(a),b)である。
　　　ただしa,bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数tに対してＤ_t⊂Ｇ×Ｎを次のように定める。
　　kをＡ_(t)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたとき、(f,n)∈Ｄ_ｔであることと、
　　ある自然数x_1…x_kが存在してＡ(t)(x_1,…,x_k)＝1かつＣ(x_1)＝(f,n)となることは同値である
　自然数tに対して、集合Ｒ_(1,t)は空集合である。
　自然数t及び2以上の自然数mに対して集合Ｒ_(m,t)⊂Ｎを次のように定める。
　　r∈Ｒ_(m,t)であることと、条件「1～3をすべて満たす自然数x_2,…x_kが存在する」
　　を満たすＤ_tの要素(f,n)とf∈Ｆ(k)を満たす自然数kが存在することは同値である。
　　　1,f(r,x_2,…,x_k)＝1
　　　2,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_1(n)ならばx_i∈Ｒ_(m-1,t)である。
　　　3,任意の2≦i≦kを満たす自然数iに対して、i∈Ｋ_2(n)ならばx_i∉Ｒ_(m-1,t)である。
　自然数tに対して、Ｒ_tをＲ_(n,t)(nは自然数)の和集合とする。
　自然数n,tに対してf_(n,t)∈Ｆを次のように定める。
　　f∈Ｇ,x∈Ｎ,k∈ＮをＣ(n)＝(f,x)で、f∈Ｆ(k)を満たすものとする。
　　またk以下の自然数で、(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の個数をsとする。
　　このとき、次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することと、f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である。
　　　1,任意のk-2以下のＫ_1(x)の要素iに対してx_i∈Ｒ_tである。
　　　2,任意のk-2以下のＫ_2(x)の要素iに対してx_i∉Ｒ_tである。
　　　3,f(x_1,…,x_k)＝1である。
　　　4,(Ｋ_1(x)∪Ｋ_2(x))∩Ｎ_(k-2)に含まれない自然数の中でi番目に小さな自然数をu_iとしたとき、
　　　　任意のs以下の自然数iに対してx_(u_i)＝a_iである。
　集合Ｆ_(Ｇ,Ａ)⊂Ｆを次のように定義する。
　　f∈Ｆ_(Ｇ,Ａ)であることと、f＝f_(n,t)を満たす自然数n、tが存在することは同値である
　全射写像Ｓ_(Ｇ,Ａ):Ｎ→Ｆ_(Ｇ,Ａ)　n→Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)を次のように定義する。
　　Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)＝f_(a,b)である。
　　ただしa、bはn＝(2b-1)*(2^(a-1))を満たす自然数である。
　自然数nに対して集合Ｅ_nを次のように定める。
　　kをＳ_(Ｇ,Ａ)(n)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたときに、Ｓ_(Ｇ,Ａ)(n)(x_1,…,x_k)＝１を満たすような
自然数x_2…x_kが存在するような自然数x_1全体の集合において
　　順序％が整列順序となるならば、Ｅ_nはそのような自然数x_1全体の集合である。
　　そうでないならばＥ_nは空集合である。
　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)を次のように定義する。
　　Ｅ_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ_nとするとき、
　　ＯＴ_(Ｇ,Ａ)はＥＥ_n(nは自然数)の和集合である。

ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_a}∪ＬＴ_(n-1)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_a＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_p∧p＜a]}である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_a:Ｎ→ＦＦ_a　n→ＳＳ_a(n)を次のように定義する。
　　k、bをn＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_a(n)＝Ｓ_p(b)である。
　　　　ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_a(n)＝Ｓ_(1,1)(n)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_a＝Ｆ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、Ｓ_a＝Ｓ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)であり、ＯＴ_a＝ＯＴ_(ＦＦ_a,ＳＳ_a)である。
集合ＯＴ⊂Ｐを、ＬＴ_n(nは自然数)の和集合とする。
写像Ｙ:ＯＴ＼{(1,1)}×Ｎ→ＯＴ　(p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　ただしyは、　y＜p∧Ｂ(y)≦n∧∀x∈ＯＴ[(x＜p∧Ｂ(x)≦n)→(x＜y∨x＝y)]　
　　を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Λ:Ｎ→ＯＴ　n→Λ(n)を次のように定義する。　
　Λ(n)＝aである。
　　ただしaは、　Ｂ(a)≦n∧∀x∈ＯＴ[Ｂ(x)≦n→(x＜a∨x＝a)]　
　　を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Ｘ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ　(p,n)→Ｘ(p,n)を次のように定義する。
　Ｘ(p,n)＝3^n　　(p＝(1,1)のとき)
　Ｘ(p,n)＝Ｘ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠(1,1)のとき)
写像ＬＭ:Ｎ→Ｎ　n→ＬＭ(n)を次のように定義する。
　ＬＭ(n)＝Ｘ(Λ(n),n)


このときＬＭ^15(15)をリニアムーン数とする。

ある程度修正しました。
> > f_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となる。

a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。

この部分の修正は反映されておりません。(ちょっと時間がかかるかもしれません。)

> FF_aとSS_aがaのみから定まらない（暗黙の変数であるnにも依存する）ため、結果的に F_aもa飲みから決まらなくなっているように見えます。FF_{a,n}やSS_{a,n}やF_{a,n}などのように依存関係が明確な記法にしていただけますでしょうか？　でないとFF_aの定義のF_pが依存する暗黙の変数が不定である（nなのかpに依存して決めるnより小さいかもしれない値なのか定まらない）ので、FF_aの定義が不明瞭となると思います。

a∈ＬＴ_(n-1)をみたすnなら何を用いてもＦＦ_aとＳＳ_aは変わらないように定義しているはずなのですがどうでしょうか？
正直このＬＴ_nの定義のところは僕自身よくわかっていないので僕が間違っている可能性も十分あります。

> a∈ＬＴ_(n-1)をみたすnなら何を用いてもＦＦ_aとＳＳ_aは変わらない

それでしたらFF_{a,n}のように定義した上でa∈ＬＴ_(n-1)を満たす最小のn>1をn_aなどと置いてFF_a = FF_{a,n_a}とかにすると良いです。

というのも、今はFF,F,SS,Sが相互再帰されていますが相互再帰が意味を持つにはまず定義文が定まってそれに関して再帰が停止しないといけないのですが、「nに依存しない」という主張は相互再帰で定義されて初めて意味を持つので、定義される前段階（相互再帰の途中）では意味を持たないからです。

例えばもしF_aの定義をF_{a,n_a^{100}}としてみてください。これだと相互再帰が回らずFF,F,SS,Sの相互再帰が循環しFがill-definedになります。その意味で「nに依存しない」という主張が意味を持たないのはよろしいでしょうか。

>> a_1,…,a_sが未定義かつ未量化です。
> この部分の修正は反映されておりません。(ちょっと時間がかかるかもしれません。

ちなみにこれって「このとき、」と「次の1～4」の間に「任意の自然数a_1,…,a_sに対して、」を挟むだけみたいな意図ではない感じですか？


> kをＡ_(t)∈Ｆ(k)を満たす自然数としたとき

A(t)の誤植かと思います。


ようやく定義の正確な形が見えてきましたが、結構でかいですねこれ・・。

> ちなみにこれって「このとき、」と「次の1～4」の間に「任意の自然数a_1,…,a_sに対して、」を挟むだけみたいな意図ではない感じですか？
　
　そうですね。ありがとうございます。

　このときf_(n,t)∈Ｆ(s)であり、そして任意の自然数a_1,…,a_sに対して
　「次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することとf_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である」が成り立つ。
　
　これで大丈夫でしょうか。

> A(t)の誤植かと思います。
その通りです。ありがとうございます。

>41
あ。このままだと循環論法みたいになってしまいますね。
あとで修正します。

>　このときf_(n,t)∈Ｆ(s)であり、そして任意の自然数a_1,…,a_sに対して
>　「次の1～4を満たす自然数x_1…x_kが存在することとf_(n,t)(a_1,…,a_s)＝1となることは同値である」が成り立つ。

あ、そうですね。それがいいかと思います。

いまいちR_tの寄与（つまりf,x,tからf_{C^{-1}(f,x),t}を作る操作がどれほど計算不可能性を増すか）がよく分からなくて、上界として少なくとも計算モデルにω+1階オラクルを付加すればよいだろうと思うのですが下界がさっぱりです。これって何か既知の操作をコードしたものだったりしますか？

ＬＴ_1＝{(1,1)}である。
2以上の自然数nに対して、ＬＴ_n⊂Ｐを次のように再帰的に定義する。
　ＬＴ_n＝{(a,b):a∈ＬＴ_(n-1)∧b∈ＯＴ_[a,n]}∪ＬＴ_(n-1)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して全射写像ＳＳ_[a,n]:Ｎ→ＦＦ_[a,n]　t→ＳＳ_[a,n](t)を次のように定義する。
　　k、bをt＝(2b-1)*(2^(k-1))を満たすただ一つの自然数としたとき、
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在するならばＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[p,n](b)である。
　　　　ただしpは、aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものである。
　　　aより小さいＬＴ_(n-1)の要素のうち、それのＢによる像がk番目に小さいものが存在しないならば、ＳＳ_[a,n](t)＝Ｓ_[(1,1),n](t)である。
　任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対して、Ｆ_[a,n]＝Ｆ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、Ｓ_[a,n]＝Ｓ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])であり、ＯＴ_[a,n]＝ＯＴ_(ＦＦ_[a,n],ＳＳ_[a,n])である。
Ｆ_[(1,1),n]＝Ｆ_(1,1)、Ｓ_[(1,1),n]＝Ｓ_(1,1)、ＯＴ_[(1,1),n]＝ＯＴ_(1,1)である。

これでしっかりＬＴ_nが定義されているでしょうか？

>45
少なくとも私が知っている操作をコード化したものではないですね。
計算モデルにω+1階オラクルを付加したものとはどういうものでしょうか。

ところでチャーチクリーネ順序数の自然な基本列ってどんな性質を満たしているようなものなのでしょうか。

> これでしっかりＬＴ_nが定義されているでしょうか？

これだとFFとFが相互再帰でなく循環参照になってしまって定義が破綻しているように見えます。

> 計算モデルにω+1階オラクルを付加したものとはどういうものでしょうか。

計算モデルにオラクルを加える操作を任意有限回行ってできる計算モデルにオラクルを加えたものですね。（コード化に依存しますが今回はコード化が固定されているので意味を持ちますよね）

> ところでチャーチクリーネ順序数の自然な基本列ってどんな性質を満たしているようなものなのでしょうか。

そもそもあまり自然と言える基本列はないと思います。僕の知っている限りどれも人工的で、さほどいい性質を満たす話は聞いたことがありません。

もうちょっと頑張って上限を詰めていったら、ω+1階ではなく2階でも計算できている気がしてきました。まあ全体の強さの評価には影響しない精密化ですが。

LT_2までがω_1^CK階未満のオラクルチューリングマシンで計算できる（従ってω_1^CKまでの基本列を与えるクリーネのOを計算できるレベルの計算モデルは不要である）ことは正しいと思うのですが、LT_3からがそれらで計算できるのかがまだ分かりません。強さの予想などありますかね？

>これだとFFとFが相互再帰でなく循環参照になってしまって定義が破綻しているように見えます。

循環参照ではなく超限再帰的なものになっているはずですが…
もし循環してるならどこらへんが循環しているでしょうか。

>そもそもあまり自然と言える基本列はないと思います。僕の知っている限りどれも人工的で、さほどいい性質を満たす話は聞いたことがありません。

質問がだいぶずれてました。ごめんなさい。
改めて質問させていただくと、計算可能関数を支配するeventual dominationでcofinalな線形階層みたいなの
の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？(分かりにくい表現ですみません。)


少し(というかそれなりに)質問がずれてました。すみません。

>49
僕の推測が正しければ、最小の証明を書けなくても戦え数より大きいかもしれません。

> 循環参照ではなく超限再帰的なものになっているはずですが…

FF_{a,n}の定義がF_{a,n}を参照し、F_{a,n}の定義がFF_{a,n}を参照しているので相互再帰が定める自然な順序的なものが半順序でなくなっています。超限再帰には整礎な半順序が必要ですので、これは超限再帰ではなく単に循環論法となります。

> 計算可能関数を支配するeventual dominationでcofinalな線形階層みたいなの

計算可能関数の集合Xであって
１．eventual dominationの定める関係がX上の全順序となりかつ
２．任意の計算可能関数fに対してあるg∈Xが存在してgがfをeventual dominationする
という意味です。

> の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？

そのようなXの存在が証明可能か反証可能か独立かが不明であるという意味です。

例えば計算可能性をなくした類題はZFCが無矛盾ならば反証不可能であることは次のように容易に示せます。
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%85%A8%E4%BD%93%E3%82%92dominate%E3%81%99%E3%82%8B%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E9%9A%8E%E5%B1%A4%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%9F%9B%E7%9B%BE%E6%80%A7


> 僕の推測が正しければ、最小の証明を書けなくても戦え数より大きいかもしれません。

なるほど、その辺に食い込んできそうなんですね。推測の背景にある理論的な理由付けとかありますか？

> の未解決問題があると聞いたのですがこれはどういう問題なのでしょうか？(分かりにくい表現ですみません。)

>FF_{a,n}の定義がF_{a,n}を参照し、F_{a,n}の定義がFF_{a,n}を参照している

ＦＦ_[a,n]の定義にはＦ_[a,n]は出てこないはずです。

>なるほど、その辺に食い込んできそうなんですね。推測の背景にある理論的な理由付けとかありますか？

雰囲気だけで言うと、Ｄ_tがある意味で公理と推論規則みたいな働きをして、
それでＲ_tがその公理で証明可能なものの集合になるというイメージです。

注意:これはリニアムーン数の定義の修正ではありません。
>そのようなXの存在が証明可能か反証可能か独立かが不明であるという意味です。

下のようにＸを定義すればなんか行ける気がしたのですがなんかの錯覚でしょうか？

(f_nは>37で定義されているもので、％は>36で定義されているものです。その他の記号はリニアムーン数とは関係ありません。)
自然数nに対して集合Ｅ＠_nを次のように定義する。
　f_n(x)＝１を満たすような自然数x全体の集合において
　順序％が整列順序となるならば、Ｅ＠_nはそのような自然数x全体の集合である。
　そうでないならばＥ＠_nは空集合である。
Ｅ＠_nの各要素を2^(n+1)倍して-1+2^nを足した自然数の集合をＥＥ＠_nとするとき、
　ＯＴ＠はＥＥ＠_n(nは自然数)の和集合である。
ＯＴをＯＴ＠と{1}の和集合として定義する。
写像Ｙ:ＯＴ＼{1}×Ｎ→ＯＴ　(p,n)→Ｙ(p,n)を次のように定義する。
　Ｙ(p,n)＝yである。　
　　ただしyは、　y％p∧y≦n∧∀x∈ＯＴ[(x％p∧x≦n)→(x％y∨x＝y)]　
　　を満たすただ一つのＯＴの要素である。
写像Ｗ:ＯＴ×Ｎ→Ｎ　(p,n)→Ｗ(p,n)を次のように定義する。
　Ｗ(p,n)＝3^n　　(p＝1のとき)
　Ｗ(p,n)＝Ｗ(Ｙ(p,n),3^n)　　(p≠1のとき)
写像Ｎ→Ｎ全体の集合の部分集合Ｘを次のように定義する。
　Ｘ＝{Ｗ(p,x):p∈ＯＴ}

> １．eventual dominationの定める関係がX上の全順序となりかつ

すみません、ここ書き間違えました。全順序ではなく整列順序です。（全順序なだけなら対角化するだけで済みますね）


> ＦＦ_[a,n]の定義にはＦ_[a,n]は出てこないはずです。

定義中に

任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f:∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。

と書かれています。


> 雰囲気だけで言うと、Ｄ_tがある意味で公理と推論規則みたいな働きをして、
> それでＲ_tがその公理で証明可能なものの集合になるというイメージです。

なるほど。言いたいことが何となく分かった気がします。戦え数は有限個の再帰的関係に対するオラクルチューリングマシンを用いて計算できるので、それらに対応するtをうまく取れば何とかなりそう、という感じですね。


> 下のようにＸを定義すればなんか行ける気がしたのですがなんかの錯覚でしょうか？

これeventual dominationについて全順序になっていることをどうやって示しますか？　f_nのenumerationを変えると全順序にすらならない、というのが実質木原先生が解説していることですのでf_nの定義を明に使わなければ示せないと思いますが、このf_nなら全順序になることの根拠がよく分かりませんでした。

>すみません、ここ書き間違えました。全順序ではなく整列順序です。（全順序なだけなら対角化するだけで済みますね）
なるほど。そうでしたか。
この問題をネットで検索してみてもp進大好きbotさんの記事か木原先生のブログしか出てこないのですが
どこかにこれが未解決問題だという出典とかってありませんかね？
あともしこれが解けた時に、ここに証明を書きこんだらそれってどうなるのでしょうか。
(それを誰かが読んでそれが認められるとかいうことはあるのでしょうか。)

> 任意の(1,1)でないＬＴ_(n-1)の要素aに対してＦＦ_[a,n]＝{f：∃p∈ＬＴ_(n-1)[f∈Ｆ_[p,n]∧p＜a]}である。

　と書かれています。

そこに書かれているようにＦＦ[a,n]を定義するのに必要なのはp＜aを満たすpに対するＦ_[p,n]です。
Ｆ_[a,n]は使用されていません。
　

> この問題をネットで検索してみてもp進大好きbotさんの記事か木原先生のブログしか出てこないのですが
> どこかにこれが未解決問題だという出典とかってありませんかね？

A. Kanamori, The Emergence ofDescriptive Set Theory, p.256
（http://math.bu.edu/people/aki/2.pdf）
参照ですね。

> Ｆ_[p,n]です。

完全に目が死んでいました・・申し訳ありません。

> あともしこれが解けた時に、ここに証明を書きこんだらそれってどうなるのでしょうか。
> (それを誰かが読んでそれが認められるとかいうことはあるのでしょうか。)

証明が認められれば、ブルームーンさんの功績になりますね。
でも査読付き論文誌に投稿したほうが功績としての信憑性が増すのでおすすめです。
（例えば査読を気にしないとなると、リーマン予想やP/NP問題は大量に「証明」と「反証」がネットに転がっています）

>59
査読付き論文誌ですか…

論文を書くとなると気になることがいくつかあるので質問させていただきます。(まだ論文にするかは決めてませんが)
まず、私自身がここで書き込んだレスの内容を用いる場合もそれは参考文献として載せたほうが良いでしょうか？
あと、それらに一部p進大好きbotさんとの相談による修正が入っていた場合、それも明記した方が良いのでしょうか？

次にもしここに証明を載せてもしそれが有名になった場合、その内容を投稿したと偽る人が現れた時に、
その人が嘘をついていて私が書いたのだということを立証することは出来るのでしょうか？

>58
ありがとうございます。
>完全に目が死んでいました・・申し訳ありません。
大丈夫です。

> (まだ論文にするかは決めてませんが)

少なくとも今回の件は上に書いたように議論が飛躍している（eventual dominationが全順序であることが示されていないしそこがかなり疑わしい）のですが、そこを直したら、ということですよね。

> 私自身がここで書き込んだレスの内容を用いる場合もそれは参考文献として載せたほうが良いでしょうか？

論文は基本的に英語で書くので、日本語で書かれたここの内容を引用する場合はきちんと英訳したものを論文に載せる必要があります。その上で「日本語の原文は[1]である」のように書いて参考文献リストに「[1] ここのurl」など書く感じですね。

> それらに一部p進大好きbotさんとの相談による修正が入っていた場合、それも明記した方が良いのでしょうか？

些末な誤植の指摘は必ずしも書きませんが、謝辞に書く人も多いですね（著者リストに書いてはいけません）。それらの修正が論文全体においてどれくらい重要かとかにもよりますし、人それぞれです。

> もしここに証明を載せてもしそれが有名になった場合、その内容を投稿したと偽る人が現れた時に、
> その人が嘘をついていて私が書いたのだということを立証することは出来るのでしょうか？

基本的に個人情報なりパスワードで保護されたアカウントなりを含まない形での投稿はいくらでもなりすましが可能です。なりすましを立証することは（物理的に可能であったとしても）現実的に不可能ですし、ブルームーンさん本人ですら自分の書き込みであることの立証は困難です。

だからこそ、個人情報を紐付けて論文誌に投稿するか、パスワードで保護されたアカウントで何らかのサービスを経由するか、が必要となります。

基本的には掲示板はそういう点で不向きです。

私が既にここに書き込んでいるものを引用する際、それは自己引用という形になるのでしょうか？
できればそれらの書き込みも自分のものだといえるのが一番いいのですが、やはり難しいのでしょうか？
あと、これらの書き込み、特に>54が私の書いたものであるかどうか疑わしいとなった場合、
私の功績は大幅に小さくなってしまうのでしょうか？
それと日本語でも論文投稿できるところってあるでしょうか？

なんか質問が多くて申し訳ありません。

これが間違っていたら元も子もないので一応確認しておきます。
　Ｘを写像Ｎ→Ｎ全体の集合としたとき、Ｘ上の二項関係＜がeventual dominationであるとは次の定義で合ってるでしょうか？
　Ｘの要素fとgがf＜gであるとは∃a∈Ｎ[∀k∈Ｎ[a＜k→f(k)＜g(k)]]が成り立つことである。

それと、示すべきことは以下の内容で合ってるでしょうか？
　Ｘの要素のうち、計算可能であるもの全体の集合をＦする。
　このとき、下の一～四をすべて満たすようなＦの部分集合Ａが存在する。
　　一、＜はＡ上の狭義全順序である。
　　二、Ａにおいて＜は整列順序である。
　　三、任意のＦの要素fに対し、あるＡの要素gが存在してf＜gを満たす。
　　四、(Ａ,＜)の順序型はチャーチクリーネ順序数である。
　

> 私が既にここに書き込んでいるものを引用する際、それは自己引用という形になるのでしょうか？

質問の意図がよく分かっていないのですが、自己引用以外の形としては何が想定されているのでしょうか？　自分が書いたものを引用する時点で自己引用にほかならないと思います。


> できればそれらの書き込みも自分のものだといえるのが一番いいのですが、やはり難しいのでしょうか？

自分のものだと主張することは可能です。証明することが出来ないだけです。


> あと、これらの書き込み、特に>54が私の書いたものであるかどうか疑わしいとなった場合、
> 私の功績は大幅に小さくなってしまうのでしょうか？

いえ、54は何も未解決問題を証明していないので、もし未解決問題を証明する論文を書いた場合は54の書き手が誰であっても結果を損なうことはないと思います。

そもそも再帰的整列順序を数え上げて和順序を取り急増加関数階層などを適用する、というアイデアだけ（それがeventual dominationについて整列していることなどは証明していない）なら恐らくこれまで色々な人が考案していると思いますからね。（例えば巨大数屋敷数も、再帰的整列順序の代わりに可証整礎な再帰的全順序を数え上げて和順序を取りFGHを適用していてほとんど同様です）

そういう構成だと後続ステップではeventual dominationが元の順序と両立しても極限ステップで生じる対角化がeventual dominationか計算可能性を崩しやすいため証明がしにくい、という問題がありそういうのを克服した証明が重要になるわけですよね。

> それと日本語でも論文投稿できるところってあるでしょうか？

あるにはあると思いますが、調べたことはないので具体的な名前は知りません。

> 次の定義で合ってるでしょうか？

はい、あっています。

> 示すべきことは以下の内容で合ってるでしょうか？

ゲーデルの原典を呼んだことがないので、他にどんな条件が課されているかなどは分かりません。また四が課されているかどうかも分かりません。

でも確かにω_1^CKであることまで課さないと意味がないかもしれませんね。単に対角化して総和を取った階層も一～三満たしますけど順序型ωですからね・・。

もしくは何らかの計算可能性をAに課すのだと思います。とにかく原典を読まないと設定は不明ですね。

ネットでゲーデルを含む言葉を検索するとゲーデルの不完全性定理しか出てこなくて
この問題に関する情報が出てこないのですが原典はどうしたら見られるのでしょうか？

木原先生に尋ねてみたところ、恐らくゲーデルのprivate communicationが原典（つまり明文化されてはいなさそう）みたいですね。となると読めないので、これを扱っている人たち（例えばKanamori先生）の解釈を聞く、とかでしょうかね。

Kanamori先生の記事に書いてあるものは（全域計算可能全体と再帰的集合全体で若干定式化は違いますがだいたい同じ問題意識だとして）計算可能関数の直感的な複雑さを反映させるような階層であることが望まれているように読めますね。

>68
明文化されてなかったのですね…
少し調べてみます。ありがとうございました。

リニアムーン数の修正を入れた最新版を載せておきます。

自然数とは正の整数のことである。
Ｎを自然数全体の集合とする。
整数全体の集合をＺとして、n以下の自然数の集合をＮ_nとする。
Ｆ(n)を写像Ｎ^n→{0,1}全体の集合として、ＦをＦ(n)(nは2以上の自然数)の和集合とする。
Ｋ_1(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が1になるような自然数kの集合とする。
Ｋ_2(n)を、n-1を三進法表記したときにk桁目が2になるような自然数kの集合とする。
自然数上の二項関係a％bを次のように定義する。
　1,a＝1のとき、a％bとb≠1は同値である。
　2,a≠1かつb＝1のとき、a％bは偽である。
　3,a,bがともに偶数のとき、a％bと(a/2)％(b/2)は同値である。
　4,a,bがともに1でない奇数のとき、a％bと((a-1)/2)％((b-1)/2)は同値である。
　5,aが偶数かつbが1でない奇数のとき、a％bは真である。
　6,aが1でない奇数かつbが偶数のとき、a％bは偽である。
集合Ｐを次のように再帰的に定義する。
　a,bが共に自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
　a∈Ｐかつbが自然数ならば(a,b)∈Ｐである。
Ｐ上の二項関係p＜qを次のように定義する。
　a,b,x,yがp＝(a,b)、q＝(x,y)を満たすとしたとき、p＜qは次の1～4のいずれかが成立することと同値である。
　　1,aが自然数かつx∈Ｐである。
　　2,a,xが共に自然数かつa％xである。
　　3,a,x∈Ｐかつa＜xである。
　　4,a＝xかつb％yである。
Ｐの要素a,bについて、bがaよりも小さいとは、b＜aであることである。
写像Ｂ:Ｐ→Ｎ　p→Ｂ(p)　を次のように定義する。
　p＝(a,b)としたとき、
　　 1,aが自然数ならばＢ(p)＝(2a-1)*(2^b)-1
　　 2,そうでないならばＢ(p)＝Ｂ(a)*(2^(b+1))-2^k
　　　 ただしkはＢ(a)/(2^k)が自然数とならないような最小の自然数とする。
2以上の自然数mに対して写像Ｖ_m:Ｎ^m→Ｎ　(x_1,…,x_m)→Ｖ_m(x_1,…,x_m)　を次のように定義する。
　m＝2のとき、Ｖ_m(x_1,x_2)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*x_2)
　m≧3のとき、Ｖ_m(x_1,…,x_m)＝(2^(-1+x_1))*(-1+2*Ｖ_(m-1)(x_2,…,x_m))